二阶奇异微分方程边值问题正解的存在性

摘要

奇异微分方程是近年来十分活跃的微分方程理论的重要分支．它起源于各种应用学科，如核物理，流体力学，气体力学等．1927年托马斯和费米为确定原子中的电动势问题导出了二阶常微分方程的奇异边值问题．正因为二阶奇异微分方程边值问题具有广泛的研究背景，所以对其研究具有重要的理论意义和应用价值．
　　关于二阶奇异微分方程边值问题的研究较早的始于S.Taliaferro发表的论文[35]．自此，许多学者对二阶奇异微分方程边值问题进行了大量的研究，如国内的杨光崇[23-26]，葛渭高[15,19]，国外的D.O'Regan，R.P.Agarwal和Stanek[1-12]等都做了很多研究。对于非线性项，f>0时正解的存在性已有大量的研究[1-7][15,19,24]．但是对于非线性项f可变号且依赖于导数时正解的存在性研究的还很少．
　　在第一章中，我们主要给出了一些预备知识和f(t，x，z)变号，不带奇异性时问题(1)正解的存在性。由于∫101/p(t)=+∞导致了问题(1)的解可能是无界的，通过构造特殊的空间和范数使问题得到解决．
　　在第二章中，我们用锥上的不动点指数理论，首先给出f(t，x，z)在x=0奇异，在z=0不奇异时问题(1)正解的存在性，利用条件f(t，x，z)≥ω(t)>0，z∈[-δ，0)克服变号带来的困难．利用类似的方法，我们得到了问题(1)在z=0奇异，x=0不奇异和x=0，z=0奇异时正解的存在性。同时，受文献[24]的启发，在第四节中，我们把二阶方程化为一阶方程，不用考虑∫101/p(t)=+∞带来的困难，讨论了f(t，x，z)在x=0，z=0奇异时问题(1)正解的存在性，并给出了解有界和无界的条件．在第五节，利用Leary-Schauder不动点定理考虑了f(t，x，z)在t=1，x=0奇异时，问题(1)正解的存在性，利用条件f(t，x，z)≥α(t，z)>0，其中0

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第一章 二阶奇异微分方程两点边值问题正解的存在性

第二章 二阶奇异微分方程边值问题正解的存在性

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