脉冲作用下种群生态学、传染病模型及湖泊模型的研究

摘要

脉冲微分方程对于在瞬时干扰下状态发生突变的演变过程提供了有力的自然描述.种群动力学和流行病学以及海洋湖泊学中有许多自然现象和人为干预因素的作用用脉冲来描述更为精确.本文以脉冲微分方程的理论为基础，建立带有脉冲效应的种群动力学模型、传染病模型以及湖泊模型，系统地分析了所给出的模型的动力学行为，并利用数值模拟的方法研究系统的复杂现象.脉冲的出现使得系统具有混合性，既有连续的特点，又有离散的特性，因而脉冲微分方程的理论要比相应的连续微分方程理论丰富得多.本文第一章首先给出了脉冲微分方程的有关基本理论.
　　 第二章基于害虫的脉冲生物控制和化学控制策略，我们给出了一个捕食者两个食饵在同一固定时刻脉冲收获害虫及投放天敌模型.同时考虑到喷洒杀虫剂对天敌的影响，我们也建立了在不同固定时刻脉冲周期喷洒杀虫剂和释放天敌的一个捕食者两个食饵系统.利用脉冲微分方程的Floquet理论、比较定理和分析的方法,研究了上述两个模型的动力学性质，给出了害虫根除周期解全局渐近稳定和系统持续生存的条件.同时数值模拟表明我们所研究系统出现了许多复杂的现象，例如，倍周期分支，半周期分支，对称破裂分支，混沌等等.而当脉冲扰动较小时，对于不同的初始值，系统会出现不同的动力学性质.
　　 第三章我们建立并系统研究了脉冲作用下的传染病模型.首先，研究了具有媒体报道和对新生婴儿及易感人群连续接种的SIS模型，通过计算得到了基本再生数，给出了无病平衡点的局部稳定性，分析了地方病平衡点的存在性，并讨论了无病平衡点和地方病平衡点的全局稳定性.接下来我们考虑了具有媒体报道和比例脉冲预防接种的SIS模型.利用由频闪映射决定的离散动力系统，得到了无病周期解的具体表达式.利用脉冲微分方程的Floquet乘子理论，比较定理和非线性分析的方法，给出了无病周期解全局渐近稳定和系统一致持久的充分条件.利用分支理论我们也得到了周期解的存在性.然后比较了连续接种和脉冲接种策略，并得到了脉冲周期的阈值.最后，我们给出了数值模拟.
　　 当易感人数很大时，需要接种的人数也相应的成比例增加.事实上，一个地区的接种能力是有限的，接种的人数不可能总是随着易感人数的增加而增加，此时应考虑常数脉冲接种策略.如果上述常数接种策略实施了一段时间后,需要接种的人越来越少，当需要接种的人数小于此接种常数时，上述接种策略就失去了意义.此时考虑混合脉冲接种策略，即当易感人口很多时利用常数脉冲接种策略，当易感人数小于常数接种策略中的常数时利用比例脉冲接种策略，并给出了一些有意义的结果.我们的这些结果为卫生部门实施预防接种策略提供了一定的理论依据.
　　 第四章我们考虑了外部流入营养对控制湖泊水华的影响.首先，我们考虑连续输入营养模型，得到了正平衡点存在的条件以及平衡点稳定性条件，并给出了生物学意义.然后我们考虑了脉冲流入营养模型，我们得到了边界周期解的具体表达形式，并证明了局部渐近稳定性.考虑到温度在藻类生长中是一个很重要的因素，因此在最后的部分我们考虑了温度对藻类生长的影响.通过比较几个温度形式，我们给出了合理的温度函数，并研究了太湖模型，同时也给出了“引江济太”措施的理论依据.

目录

文摘

英文文摘

声明

第1章 引言及预备知识

§1.1脉冲微分系统

§1.2解的存在性、唯一性、延拓性

§1.2.1解的局部存在性

§1.2.2解的全局存在性

§1.2.3解的唯一性、延拓性

§1.3脉冲微分系统的比较定理

§1.4线性齐次脉冲周期系统

§1.5本文用到的定义和引理

第2章 脉冲作用下种群生态学模型的研究

§2.1在同一脉冲时刻对害虫进行生物控制和化学控制

§2.1.1灭绝性

§2.1.2持续性

§2.1.3分支分析和数值结果

§2.1.4生物意义

§2.2在不同脉冲时刻对害虫进行生物控制和化学控制

§2.2.1灭绝性

§2.2.2持续性

§2.2.3分支分析和数值结果

§2.2.4生物意义

第3章 脉冲作用下传染病模型的研究

§3.1连续接种模型

§3.1.1模型建立

§3.1.2平衡点及其稳定性

§3.2比例脉冲接种模型

§3.2.1无病周期解及其稳定性

§3.2.2持久性

§3.2.3正周期解的存在性

§3.3常数脉冲接种模型

§3.4混合脉冲接种模型

§3.5生物意义

第4章 脉冲作用下湖泊模型的研究

§4.1连续流入营养模型

§4.1.1平衡点的存在性

§4.1.2平衡点的稳定性

§4.2脉冲流入营养模型

§4.3温度对湖泊模型的影响

§4.4生物意义

参考文献

攻读博士学位期间所发表及已完成的论文

致 谢