代数多重网格算法研究及其在固体力学计算中的应用

摘要

随着计算机日新月异的发展，科学计算特别是大规模、高性能科学计算越来越成为推动技术革命的强劲动力，计算方法是科学计算的核心，因此，计算机与计算方法的发展程度已成为科学计算能力提高的决定性因素。在物理、力学等应用领域里，有很多问题常常归结于偏微分方程（组）的求解，但由于实际问题的复杂性，根本无法得到它们的解析解，有限元数值求解已成为求解这类问题最为有效的途径和方法。有限元方法通常包括三个过程，即网格生成及优化、有限元离散代数系统的形成以及离散系统的代数求解，其中第一个和第三个过程是影响有限元分析整体求解效率的主要因素。多重网格法是求解偏微分方程（组）大规模离散化方程最为有效的方法，它一般可分为几何多重网格法和代数多重网格法。由于实际应用问题的错综复杂性，以及数值商业软件对“即插即用”型求解器的要求，使得几何多重网格法的应用变得越来越困难，而代数多重网格（AMG）法的“高效性”和“鲁棒性（robustness）”，使之成为了当今多重网格法的研究热点。
　　 AMG方法的关键技术是建立生成各个粗网格层和相应的插值算子的代数方法。对大量的偏微分方程离散代数系统，其背景问题的许多重要特征仅仅通过总刚度矩阵是很难重构出来的。因此，借助于部分几何或分析信息，再通过代数途径来构造相应的高效AMG法是一种十分自然的想法，我们称这种AMG法为基于部分几何和分析信息的AMG法。目前，对标量椭圆型偏微分方程，AMG方法发展比较成熟，但对方程组情形，通常的AMG方法在求解效率上将变差，有时甚至失效。其主要原因是，对方程组情形，定义在每一个节点的自由度往往大于1，而且这些自由度又是相互耦合在一起的，总刚度矩阵所对应的代数网格图与相应的几何网格图根本不一致，利用通常的网格粗化技术，很难控制粗网格的规模及合理地设计插值（提升）算子，从而大大降低了其求解效率。特别是对三维情形，由于网格图的复杂度较二维情形有本质性的增加，相应的网格粗化技术在计算效率和鲁棒性等方面还不尽如人意。因此，我们需要发展新的网格粗化技术及插值算子的构造方法，以提高AMG 方法的收敛速度，使其能应用于更多实际问题的快速求解。
　　 本文主要针对固体力学计算中的几类应用问题，对其相应的AMG 算法进行了深入的研究和探讨，借助于部分几何或分析信息，提出了几种有效的AMG 算法，并进行了大量的数值实验与结果比较，得到了一些有意义的数值结果。这些研究进一步丰富和充实了AMG 算法，拓宽了AMG 方法在一些应用领域中的研究，具有重要的理论和工程应用价值。主要内容和结果包括：
　　 （一）针对一类（多尺度）离散应变原子模型的数值求解，将基于标量椭圆型偏微分方程的AMG 方法推广应用于方程组情形，给出了相应的AMG 算法，并详细介绍了其中的网格粗化算法及插值（提升）算子的构造。据我们所知，这是首次尝试设计快速方法求解离散应变原子模型。对二维问题作了大量的数值实验，并与工程计算中常用的数值方法进行了比较，结果表明，本文设计的AMG 算法特别是AMG-CG 方法对求解应变模型（包括多尺度耦合模型）是有效的，具有很好的“鲁棒性”。
　　 （二）针对含间断系数弹性结构力学问题的数值求解，建立了一类界面保持粗化多重网格方法，这样，只需构造简单的插值算子及选取点块Gauss-Seidel 作磨光迭代，就可得到一类相当有效的多重网格方法。数值结果表明，这种界面保持粗化多重网格方法的收敛性不依赖于网格规模及间断系数的大小，具有很好的数值稳定性，非常适合于含规则界面区域弹性力学问题的数值求解。然后，对不规则界面情形，通过从纯代数角度构造相应的界面保持粗化算法，或者通过选取合适的光滑迭代子的方法，大大提高了AMG 方法的计算效率，并使之适合于求解任意形状的夹杂问题。本研究成功地解决了将AMG 方法应用于非均匀介质（如：夹杂，局部软化）这一挑战问题。
　　 （三）针对三维弹性问题的数值求解，建立了一类三维等代数结构面网格剖分下的AMG 算法和相应的预处理共轭梯度法。这种方法的基本思想是将三维插值算子的构造本质地转化为二维插值算子的构造，开辟了新的算法设计途径。数值结果表明，本文建立的AMG 方法对求解三维弹性问题有限元方程是十分有效的，具有很好的“鲁棒性”，较直接解法SuperLU和其它常用迭代方法具有明显的优越性。
　　 （四）将AMG 方法引入到岩体力学有限元计算领域，论述了基于单元聚集和能量极小意义下适于岩体力学有限元求解的AMG 粗化策略与插值算子，并详细描述了相应的AMG 算法。本研究工作进一步开拓了AMG 方法应用研究的新领域，通过将其应用到采矿与岩土工程有限元分析中，提高了有限元模拟岩土工程大规模问题的数值效率，有助于解决采矿与岩土工程实践中不断出现的大规模科学计算问题，具有重要的科学价值和重大的工程应用价值。数值试验表明：在岩体力学与工程问题的有限元数值计算中，AMG 求解法是高效的、适用的，较直接法和其它常用迭代方法具有明显的优越性。
　　 （五）针对线弹性中半正定问题的数值求解，首次提出了一类能重构刚体模式的AMG算法。将所建立的AMG 方法应用于一类带牵引自由边界条件的应变问题和一类多尺度应变原子模型的数值求解，结果表明，本文提出的AMG 方法较一般的AMG 方法具有更好的收敛特性。同时，利用正交分解技术，我们还得到一类能保持商空间的AMG方法，当原问题的真解落在所考虑算子的商空间时，由该方法求得的数值解也完全落在相应的商空间里，且收敛于原问题的真解。
　　 （六）针对线弹性中的几类典型问题，研究了几种有代表性的复杂各向异性网格（包括贯穿型各向异性网格和具有局部各向异性的混合网格）对AMG 方法的影响；进而，通过利用问题和网格的部分几何和分析信息，引入“距离矩阵”的概念，设计了一种新的网格粗化算法，数值实验表明：基于新的网格粗化算法的AMG 法对求解线弹性中的各向异性问题是非常有效的，具有很好的数值稳定性。