含Riesz（-Feller）位势算子的分数阶偏微分方程的基本解与数值解

摘要

早在17世纪末整数阶微积分还处于发展时期，Leibniz和L’Hospital就曾以书信的方式探讨过分数阶微积分和简单的分数阶微分方程.但初期由于分数阶算子没有物理、力学背景的支持，又与经典的Newton整数阶体系相左，故发展极其缓慢.直到20世纪，许多学者发现FC和FDE在分形动力学、扩散和输运、物种传播与繁衍、混沌与湍流、随机游走、金融、随机过程、粘弹性力学及非牛顿流体力学等诸多领域里有着广泛的应用，分数阶微积分和微分方程才得到迅速的发展，目前已成为当前国际上的-个热点研究课题. Podlubny总结道“只有在同时使用左侧导数和右侧导数时，分数阶微分方程的理论尤其是分数阶微分方程的边值问题才能得到较好的发展”。故本文所考虑的方程的空间导数均是Riesz位势算子或Riesz-Feller位势算子，即含有双侧的Riemann-LiouviUe(R-L)分数阶导数. 本文第一章首先简要介绍了分数阶微积分的发展历程和前人的工作，其次给出目前常用的几种分数阶算子的定义、性质及这些算子之间的关系. 第二章我们分别考虑了空间Riesz分数阶偏微分方程和时间-空间Riesz分数阶偏微分方程的基本解.在假设函数关于空间变量具有周期性的前提下，利用Fourier级数展开及Laplace积分变换求解这两类方程的Cauchy问题，得到可显式表示成级数形式的基本解，从而易于近似计算. 把古典扩散方程中关于空间变量的二阶导数用α∈(0，2](α≠1)阶且含偏斜度θ (|θ |≤min{α，2-α}的Riesz-Feller位势算子代替就得到空间分数阶Lévy-Feller扩散方程(SFLFDE).本文第三章分别从概率和数值近似计算的角度研究了SFLFDE.首先对于无限区间上SFLFDE的柯西问题我们分别就0<α<1和1<α≤2情形利用数值积分构造了两个差分离散格式，证明了此二离散格式可用于模拟随机游走模型，进一步地给出了与Lévy-Feller扩散对应的稳定Lédvy分布的吸收域问题.其次，从实际应用的角度考虑了在有限区间上SFLFDE的初边值问题的数值逼近，构造了-个条件稳定和收敛的显式差分离散格式.最后给出一个数值例子说明上述离散格式的计算有效性和数值分析的准确性. 第四章讨论了含非线性源项的空间Riesz分数阶扩散方程的数值近似.借助于R-L分数阶导数与Grünwald-Letnikov(G-L)分数阶导数的等价性，我们利用移位G-L技巧对Riesz位势算子进行离散.此外，再利用向后差商近似时间导数，得到一个隐式有限差分离散格式.进一步在假设非线性源项满足Lipschitz条件的情形下，证明了该格式是无条件稳定和收敛的.最后给出两个数值例子，并用分数阶行方法(MOL)与之比较，所得的数值结果与理论分析是非常吻合的. 用有限差分技巧(即数值积分技巧或移位G-L技巧)离散分数阶偏微分方程时，对于R-L导数算子的数值近似的收敛阶都不超过一阶，故寻求高阶收敛的数值离散格式是非常必要的.第五章我们采用两种数值方法：有限差分法和Galerkin有限元法数值逼近空间Riesz分数阶对流.扩散方程。首先利用数值积分技巧离散Riesz位势算子、向后差商近似时间导数，构造了一个隐式有限差分离散格式，证明了该格式是无条件稳定和收敛的，但遗憾的是该数值格式关于空间变量的收敛阶小于一阶.为了得到更高收敛阶的数值离散格式，进而采用Galerkin有限元法对方程进行数值近似.把方程变成等价的弱形式，证明了该弱形式的解是存在唯一的.进一步地，借助于向后差商近似时间导数、Galerkin有限元逼近空间Riesz导数，得到-个隐式Galerkin有限元完全离散格式，该格式也是无条件稳定和收敛的，且当方程的解满足一定正则性时关于空间变量的收敛阶可达到高阶.最后分别用这两种方法进行数值实现，比较了两种方法的收敛阶，它们与理论分析是吻合的. 第六章对本文的工作做了一个总结.

目录

文摘

英文文摘

声明

第一章 绪论

§1.1引言

§1.2分数阶微积分的定义和性质

第二章 周期函数的时间-空间Riesz分数阶偏微分方程的基本解

§2.1预备知识

§2.2空间Riesz分数阶偏微分方程(SRFPDE)的基本解

§2.3时间-空间Riesz分数阶偏微分方程(TSRFPDE)的基本解

第三章 Lévy-Fller扩散方程的概率解释和数值近似

§3.1 Lévy-Feller扩散方程的概率解释

§3.1.1无限区间上的差分离散格式

§3.1.2概率解释

§3.1.3吸收域

§3.2 Lévy-Feller扩散方程的数值近似

§3.2.1显式有限差分离散格式

§3.2.2稳定性与收敛性分析

§3.2.3数值例子

第四章 含非线性源项的空间Riesz分数阶扩散方程的隐式差分近似

§4.1隐式有限差分离散格式

§4.2稳定性和收敛性分析

§4.3数值例子

第五章 空间Riesz分数阶对流-扩散方程的隐式有限差分和隐式Galerkin有限元数值近似

§5.1空间Riesz分数阶对流-扩散方程的隐式有限差分数值近似

§5.1.1隐式有限差分离散格式

§5.1.2稳定性与收敛性分析

§5.2空间Riesz分数阶对流-扩散方程的隐式Galerkin有限元数值近似

§5.2.1预备知识

§5.2.2变分公式

§5.2.3隐式Galerkin有限元完全离散格式

§5.2.4稳定性和收敛性分析

§5.3数值例子

第六章 总结

附录A

参考文献

攻读博士学位期间的研究成果

致谢