集值Lebesgue积分与Ito型随机微分方程

摘要

本文研究的是集值随机过程关于时间变量t的Lebesgue积分，Aumann型Lebesgue积分，和集值Ito型随机微分方程. 本文分为三部分: 第一部分是闭集值随机过程关于时间变量t的Lebesgue积分.对于取值为d-维欧氏空间Rd的闭子集的循序可测的集值随机过程的，首先，讨论集值随机过程与它的选择集之间的关系.然后，针对以往定义的Aumann型闭集值Lebesgue积分的结果可能是不可测的这一问题，取该积分关于过程的可分解闭包，给出闭集值随机过程Lebesgue积分的新定义.从而得到闭集值随机过程Lebesgue积分的积分结果是集值随机过程，给出该积分有界性、表示定理和重要不等式等性质的证明，因而，有进一步的应用前景. 第二部分是紧集值随机过程关于时间变量t的Aumann型Lebesgue积分.首先，对于取值为Rd空间中紧子集的集值随机过程关于时间变量t的Aumann型Lebesgue积分，就以往研究中积分定义存在的几乎处处问题，提出第一个解决方案：假设概率空间的σ-域关于测度可分.然后，将证明紧集值Aumann型Lebesgue积分的可测性，从而积分结果是一个集值随机过程.其次，将讨论紧集值Aumann型Lebesgue积分的选择和选择集，进一步，给出Aumann型紧集值Lebesgue积分的表示定理和该积分的一个重要不等. 第三部分是关于集值随机微分方程的解的存在唯一性定理。本文将分别证明闭集值和紧集值随机微分方程的解的存在唯一性定理。首先，在前面利用可分解闭包给出的闭集值随机过程的Lebesgue积分及其重要性质的基础上，将证明闭集值随机微分方程的解的存在唯一性以及解在一定意义下的连续性：其次，就以往紧集值Aumann型Lebesgue积分定义中存在的几乎处处问题，给出第二种解决方案.从而修正先前的定义并讨论该积分的性质，并证明紧集值Ito型随机微分方程强解的存在唯一性.胡良剑等[120]用Hukuhara差讨论了同类型Ito型模糊随机微分方程，由于实数空间的闭子集构成的空间对于加法和数乘不构成线形空间，这就产生了一个问题：在什么条件下Hukuhara差存在?这是一个很难解决的问题，而他们为此简单假设集值随机过程在任何两个不同的时间的Hukuhara差总是存在.我们利用集值随机过程及其积分的选择的方法，证明出重要的积分不等式，在此基础上证明Ito型集值随机微分方程解的存在唯一性定理。 最后，将给出有界可料过程关于集值平方可积鞅的随机积分的定义及其表示定理，并且将证明新定义的随机积分是集值下鞅.

目录

文摘

英文文摘

论文说明：符号表

声明

第1章绪论

1.1 集值映射与集值随机变量

1.2 集值随机积分发展简介及存在的问题

1.3 集值随机微分方程的引入及存在的问题

1.4 本文的研究成果和结构

第2章闭集值随机过程的Lebesgue积分

2.1 引言及预备知识

2.2 循序可测集值随机过程的选择性质

2.3 闭集值随机过程的Lebesgue积分的定义

2.4 表示定理及积分的性质

2.5本章小结

第3章闭集值随机微分方程解的存在唯一性

3.1 引言

3.2 闭集值Lebesgue积分的重要不等式

3.3 闭集值随机微分方程解的存在唯一性

3.4本章小结

第4章紧集值随机过程的Aumann型Lebesgue积分

4.1 引言及预备知识

4.2 Aumann型紧集值Lebesgue积分及其选择

4.3表示定理及重要不等式

4.4本章小结

第5章It(ǒ)型紧集值随机微分方程的强解

5.1 引言和预备知识

5.2 修正的Aumann型紧集值Lebesgue积分的定义及其性质

5.3 Itǒ型紧集值随机微分方程的强解

5.4 本章小结

第6章关于集值平方可积鞅的随机积分

6.1 引言

6.2 集值鞅和集值平方可积鞅

6.3 关于集值平方可积鞅的随机积分

6.4 本章小结

结论

参考文献

攻读博士学位期间的研究成果

致谢