定向曲面上向量场的弱伪轨追踪问题

摘要

伪轨追踪理论是动力系统理论中的一个重要经典内容，它与双曲性理论紧密相关。伪轨追踪是指，系统所有小误差的近似轨道，都可以被真轨道所逼近。人们研究了不同形式的伪轨追踪性质，比如正则伪轨追踪性质，定向伪轨追踪性质，Lipschitz伪轨追踪性质，以及轨道伪轨追踪性质等，讨论了其中一些伪轨追踪性与系统双曲性及结构的稳定性之间的相互关系。
　　在本篇论文中，我们将探讨向量场中的弱伪轨追踪性质。我们称一个向量场具有弱伪轨追踪性质，如果对任意的ε>0，存在d>0，使得任一个d-伪轨都包含在一个真轨的ε-邻域里。我们将证明在定向的二维光滑闭曲面上，一个向量场包含在具有弱伪轨追踪性质向量场集合的C1内部，当且仅当它是结构稳定的。
　　在论文的第一章，我们将简要介绍关于伪轨追踪性质的一些背景内容。在第二章，将陈述本论文的主定理，并介绍一些需要用到的结果。主定理的证明主要是利用Kupka-Smale向量场集合的C1内部与结构稳定向量场集合相同这一结果。在第三章我们将证明包含在具有弱伪轨追踪性质向量场集合C1内部的向量场满足Kupka-Smale向量场的第一个条件，之后在第四章以及第五章将证明其满足Kupka-Smale向量场的的第二个条件。从而通过证明具有弱伪轨追踪性质向量场集合的C1内部包含在Kupka-Smale向量场集合内，得到本论文的主定理。

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第一章 引言

第二章 准备知识和主要结果

第一节 定义和主要结果

第二节 准备知识

2.2.1 Kupka-Smale向量场

2.2.2 C1连接引理

2.2.3 Pugh-Robinson扰动方法

第三章 奇点和周期轨的双曲性

第四章 同宿连接轨的存在性

第一节 局部线性模型

第二节 同宿连接轨的不存在性

第五章 横截相交性

第一节 鞍型奇点间的横截相交

第二节 命题2.5的证明

参考文献

致谢

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