分数阶基本传递函数性质分析及应用

摘要

分数阶微积分的概念早在300多年前就被提出，是任意阶微分和积分的理论，是整数阶微积分的推广。在控制科学方面，分数阶微积分方程可以用来很好地对分数阶控制系统进行数学描述，并在此基础上进行系统的动态和稳态性能分析。通过设计分数阶控制器或者建立分数阶模型使工程系统达到更好的控制效果。
　　本文首先介绍分数阶微积分理论的发展及背景，对第一类和第二类分数阶基本传递函数的性质进行了讨论。然后对第二类分数阶基本传递函数增加零极点进行讨论，通过频域方法，间接分析了增加零极点对第二类分数阶基本传递函数时域响应性能的影响。在此基础上，利用分数阶控制器，对第一类和第二类分数阶基本传递函数进行补偿设计，给出了具体的设计实例。最后通过仿真，验证了补偿后的分数阶系统可以达到更好的控制效果。本文做了以下工作:
　　(1)讨论了第一类和第二类分数阶基本传递函数稳定的参数取值范围，并对两类分数阶基本传递函数的频域特性进行了研究;
　　(2)研究了增加零极点对第二类分数阶基本传递函数的影响。根据相角裕度和截止频率定义，分析增加零极点后分数阶系统的相角裕度和截止频率与调节参数的关系，通过频域特性间接分析增加零极点后分数阶系统时域响应特性。最后，对增加零极点后的第一类和第二类分数阶基本传递函数，进行仿真，验证增加零极点后分数阶系统性能的变化;
　　(3)利用分数阶控制器对第一类和第二类分数阶基本传递函数进行补偿设计。利用分数阶PIλ控制器对第一类分数阶基本传递函数进行补偿和利用分数阶PDμ控制器对第二类分数阶基本传递函数进行补偿设计。我们将看到，补偿后的系统等价于在第二类开环分数阶基本传递函数的基础上，附加一个分数阶零点。类似于第二类分数阶基本传递函数增加零极点的讨论，在频域中间接分析补偿后分数阶系统的时域响应特性，最后给出仿真验证。
　　本文的主要创新点是在分数阶基本传递函数的基础上，增加零极点，在频域中间接分析了增加零极点对第二类分数阶基本传递函数性能的影响。这为分数阶系统的分析与设计提供了全新的思路。另外，对第一类和第二类分数阶基本传递函数进行补偿设计，通过分数阶控制器得到了实现，给出了具体应用实例，进一步验证了该方法的可行性。

目录

声明

摘要

1 绪论

1．1 引言

1．2 研究背景

1．3 研究现状

1．4 本文的研究内容和章节安排

2 分数阶控制系统概述

2．1 数学基础

2．1．1 基本函数

2．1．2 分数阶微积分的定义

2．1．3 分数阶微积分的性质

2．2 分数阶微积分的积分变换

2．2．1 Laplace变换的定义和性质

2．2．2 分数阶微积分的Laplace变换

2．2．3 Fourier变换的定义和性质

2．2．4 分数阶微积分的Fourier变换

2．3 分数阶控制系统介绍

2．3．1 分数阶控制系统方程

2．3．2 分数阶系统的稳定性

2．3．3 分数阶微分的滤波器近似

2．4 分数阶控制器

2．5 分数阶系统的时域与频域分析

2．5．1 分数阶系统的时域分析

2．5．2 分数阶微积分sα的频域分析

3 第一类和第二类分数阶基本传递函数性质分析

3．1 第一类分数阶基本传递函数稳定性分析

3．2 第二类分数阶基本传递函数稳定性分析

3．3 第一类分数阶基本传递函数频率特性

3．4 第二类分数阶基本传递函数频率特性

4 附加零极点对第二类分数阶基本传递函数性能的影响

4．1 附加零点对第二类分数阶基本传递函数性能的影响

4．1．1 第二类分数阶基本传递函数增加零点设计

4．1．2 应用及仿真

4．2 附加极点对第二类分数阶基本传递函数性能的影响

4．2．1 第二类分数阶基本传递函数增加极点设计

4．2．2 应用及仿真

5 第一类和第二类分数阶基本传递函数补偿设计

5．1 第一类分数阶基本传递函数补偿设计

5．1．1 第一类分数阶基本传递函数补偿设计和频率特性分析

5．1．2 应用及仿真

5．2 第二类分数阶开环传递函数补偿设计

5．2．1 第二类分数阶开环传递函数补偿设计和频率特性分析

5．2．2 应用及仿真

6 结论

7 展望

参考文献

9 攻读硕士学位期间发表论文情况

致谢