具有A4，1Lie代数结构的广义Hamilton系统研究

摘要

具有与Lie代数结构相关联Lie-Poisson结构的广义Hamilton系统广泛存在于数理科学、生命科学以及社会科学等众多领域，特别是天体力学、等离子物理、航天科学及生物工程中，这些领域的动态系统模型都是以这类系统或它们的扰动系统的形式出现的。最近的研究发现这类系统还与Lie群上的最优控制问题有着紧密联系。对于具有Lie代数结构的广义Hamilton系统，前人对三维Lie代数有著名的Bianchi分类，并在分类的基础上研究了三维Lie代数的保结构变换、化简广义Hamilton系统及动力学性质研究。但是，对于具有更高维的Lie代数结构的广义Hamilton系统，还未见到一般性的研究结果。
　　本文研究一类具有四维Lie代数结构的二次齐次广义Hamilton系统(x)=J(x)▽H(x)，分量形式为dxi/dt=4Σj=1Jij(x)(e)H/(e)xj(x)，i=1，…，4.其中结构矩阵J(x)是与第一类四维Lie代数A4，1(见文献[13])结构对应的Lie-Poisson结构矩阵:J(x)=(0000000 x1000 x20-x1-x20)Hamilton函数H(x)=1/2xTSx为二次齐次Hamilton函数，S是一个含有10个参数的对称矩阵。
　　为了研究这个含有10个参数系统的动力学性质，我们首先利用保持J(x)不变的可逆线性变换，将二次齐次Hamilton函数H(x)化简为13个等价类，除了第(1)类含有2个独立参数外，其它等价类至多含有1个独立参数，相应的系统的相空间轨道结构比较简单。与第(1)类Hamilton函数相应的广义Hamilton系统为:{(y)1=0(y)2=2y1y4(y)3=2y2y4(y)4=-p12y2-2p3y2y3
　　本文余下部分主要对这个2参数系统进行了细致研究，获得了平衡点分叉和稳定性结果，以及不同叶层上的完全轨道结构。计算出了该系统的同宿轨、异宿轨和周期轨的精确解。最后，利用广义Hamilton扰动理论，研究了这个广义Hamilton系统的时间周期扰动系统，通过计算相应轨道的Melnikov函数，获得了扰动系统的周期轨和同宿轨的存在性判据。
　　本文的主要内容和结构为:第一章绪论，包括研究的背景、研究动机，以及研究所需要用到的理论和基础知识。第二章研究了四维Lie代数中的A4,1的保结构变换矩阵，并利用保结构变换和广义Hamilton系统的性质化简二次齐次Hamilton系统(10个参数)，得到了13类最多含两个参数的Hamilton函数，从而把A4,1对应的广义Hamilton系统化简为13类。第三章对13类中的第(1)类进行动力学性质分析，包括平衡点及其稳定性分析，分叉，相空间轨道，同宿轨异宿轨和周期轨精确解，最后又对其他12类系统的动力学性质进行了分析。第四章对第(1)类系统的时间周期扰动系统中的同宿轨道、周期轨道等运动的存在性问题进行研究。

目录

摘要

第一章 绪论

1．1 研究背景与动机

1．2 预备知识

1．2．1 广义Hamilton系统和Lie-Poisson结构

1．2．2 非线性稳定

1．2．3 Jacobi椭圆函数

1．2．4 广义Hamilton扰动系统的周期轨道存在性问题

1．2．5 广义Hamilton扰动系统的同宿轨道存在性问题

1．3 本文结构安排

第二章 具有A4，1Lie代数结构的广义Hamilton系统的化简

2．1 引言

2．2 广义哈密顿系统的性质和保结构变换

2．2．1 广义哈密顿系统的性质化简H(x)

2．2．2 保结构变换化简H(x)

第三章 动力学性质分析

3．1 系统(3．2)平衡点及其稳定性分析

3．2 叶层上的轨道分析

3．3 同宿轨异宿轨周期轨精确解

3．3．1 异宿轨

3．3．2 同宿轨

3．3．3 周期轨

3．4 其他分类的动力学性质研究

3．4．1 第(11)类的动力学性质

3．4．2 第(12)类的动力学性质

3．4．3 第(2)类的动力学性质

3．4．4 第(3)类的动力学性质

3．4．5 第(4)类的动力学性质

3．4．6 第(5)类的动力学性质

3．4．7 第(6)类的动力学性质

3．4．8 第(7)类的动力学性质

3．4．9 第(8)类的动力学性质

3．4．10 第(9)类的动力学性质

3．4．11 第(10)类的动力学性质

3．4．12 第(13)类的动力学性质

第四章 扰动系统的周期轨道和同宿轨道

4．1 扰动系统周期轨道的存在性

4．2 扰动系统同宿轨道的存在性

参考文献

攻读学位期间取得的研究成果

致谢

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