基于最大熵方法的二维不变测度计算

摘要

科学与工程中许多问题常常归结为研究离散动力系统的性质，而确定性意义下的离散动力系统在统计意义下常具有正规性，所以计算不变测度等大范围统计量对理解离散动力系统具有重要作用。
　　最大熵方法是计算不变测度的主要方法之一。在一维情形下，设从[0,1]到[0,1]的非线性变换S有不变测度?，丁玖教授等提出了基于分片线性函数的最大熵方法用于求解不变测度，理论分析和数值实验表明这样的最大熵方法是快速有效的。
　　本文在已有成果基础上做了以下探索：
　　（1）将一维空间计算不变测度的最大熵方法推广到二维空间。在科学与工程问题中常会涉及二维甚至高维的动力系统，因此本文提出的方法有一定的应用前景。
　　（2）结合有限元思想，将三角元上分片线性基函数作为计算二维不变测度最大熵方法中的矩函数。本文证明这样定义的矩函数在二维空间具有单元分割性质和支集性质。这样的性质保证了我们可以有效地求解由最大熵方法得到的非线性方程组，因为利用牛顿迭代法求解由最大熵方法得到的非线性方程时雅克比矩阵是带状矩阵且正定。
　　（3）我们进一步发现，利用三角元，最大熵方法得到的非线性方程组的积分部分可以精确求出，本文对此做了推导。而如果选用矩形元，则只能用数值积分求解。
　　（4）文中给出了计算二维不变测度最大熵方法的收敛性，数值实验结果表明最大熵方法在二维不变测度计算中是有效的、收敛的。

目录

封面

声明

目录

中文摘要

英文摘要

第一章 绪 论

1.1 不变测度研究的背景和意义

1.2 不变测度研究现状

1.3 本文的工作

1.3.1 本文的主要内容

1.3.2 论文的组织架构

第二章 预备知识

2.1 动力系统基本概念及其研究的方法

2.2 遍历理论基本概念[28]

2.3 Frobenius-Perron 算子[28,29]

2.4 有限元简介以及三角元面积坐标构造基函数

第三章 基于最大熵方法的二维不变测度计算

3.1 Boltzmann熵

3.2 三角元基函数的构造及其性质

3.3平面区域上Frobenius-Perron算子不变密度的计算

3.4 最大熵方法化简与计算

第四章 收敛分析与数值实验

4.1收敛分析

4.2 数值试验

第五章 总结与展望

参考文献