基于无网格的不变测度计算

摘要

科学和工程上的许多问题可以归结为研究离散动力系统的性质。用统计方法研究离散动力系统时要借助不变测度理论。所以计算不变测度等大范围统计量对理解离散动力系统具有重要作用。
　　最大熵方法是计算不变测度的主要方法之一。在一维情形下，设从区间Ⅰ到Ⅰ的非线性变换S有不变测度μ,丁玖教授等提出了基于分片线性基函数的最大熵方法用于求解不变测度，理论分析和数值实验表明这样的最大熵方法是快速有效的。徐春伟等将一维空间计算不变测度的最大熵方法推广到了二维空间，结合有限元思想，用三角元上分片线性基函数作为计算不变测度最大熵方法中的矩函数。本文提出基于无网格的最大熵方法计算不变测度。
　　此文主要做了以下的探索：
　　(1)结合无网格方法，在二维空间用无网格方法的基函数作为计算不变测度最大熵方法的矩函数。因为该基函数具有单位分割性质与近似支集性质，由最大熵方法得到的非线性方程组的雅克比矩阵是带状矩阵且是正定的，所以保证了我们可以有效地求解由最大熵方法得到的非线性方程组。
　　(2)文中给出了无网格的最大熵方法的算法与步骤，数值实验结果表明最大熵方法在二维不变测度计算中是有效的、收敛的。
　　(3)数值结果表明，基于无网格的最大熵方法得到的密度函数要比基于分片线性基函数的最大熵方法得到的密度函数精度高，说明了我们的方法更有效。

目录

封面

声明

中文摘要

英文摘要

目录

第 一 章 绪 论

1.1 不变测度和无网格的发展现状

1.2 本文的工作

第二章不变测度的理论知识

2 .1 确定性系统和混沌统计研究

2 .2 不变测度及遍历理论基本概念

2.3 Frobenius-Perron 算子

第三章无网格方法的基函数

3 .1 凸近似格式

3 .2 全局最大熵逼近

3 .3 局部最佳逼近格式

3 .4 对偶问题和形状函数的指数形式

第四章基于无网格的最大熵方法

4 .1 最大熵方法

4 .2 基于无网格方法的最大熵

第五章数值结果

5 .1 基函数计算区域的选取

5 .2 数值实验

第六章总结与展望

参考文献

致谢

攻读硕士学位期间的研究成果