奇异积分中几类经典算子及其相关算子的若干问题

摘要

本文主要研究的是Marcinkiewicz积分，奇异积分和分数次积分及其交换子的有界性问题.全文共六章.首先我们简单回顾历史研究这些算子的背景和相关的方法，从而提出本文要考虑的问题， 1Marcinkiewicz积分和Marcikiewicz积分交换子 1.1Marcinkiewicz积分 众所周知Littlewood-Paleyg函数，g*λ函数及Lusin面积S函数在调和分析和偏微分方程等领域起着非常重要的作用.1938年，J.Marcinkiewicz[41]考虑如下Marcinkiewicz积分算子：μ(f)(x)=(∫2π0|F(x+t)+F(x-t)-2F(x)|2/t3dt)1/2,x∈[0,2π]其中F(x)=∫x0f(t)dt.1958年，Stein[57]把Marcinkiewicz积分推广到高维情形.设Ω是零次齐次并且满足如下Lipα(0＜α≤1)条件：即，设Ω是Rn中的单位球面∑上的连续函数并且满足|Ω(x')-Ω(y')|≤C|x2'-y'|α，(A)x'，y’∈∑.又设Ω满足消失性条件∫Sn-1Ω(x')dσ(x')=0.(1.1.1)定义高维Marcinkiewicz积分算子为μΩ(f)(x)=(∫∞0|FΩ,t(f)(x)|2/t3dt)1/2，其中FΩ,t(f)(x)=∫|x-y|≤tΩ(x-y)/|x-y|n-1f(y)(dy).stein证明了当Ω满足Lipα条件时，μΩ是Lp有界(1≤p＜2)并且也是弱(1，1)型.自Stein的开创性工作后，关于Marcinkiewicz积分，特别是具有粗糙核的Marcinkiewicz算子的研究，涌现一大批著名的结果，详见[10]-[13]，[27]，[28]，[33]，[38]等等. 二十世纪六十年代以来，Campanato空间已成为研究椭圆型和抛物型偏微分方程解的正则性的重要工具(见[8]，[31]，[26]等).因此研究相关算子在Campanato空间有界性问题是很有意义的事情.1960年，L.H(o)rmander[38]首先定义和研究了参数型的Marcinkiewicz积分的LP有界性.1999年，Sakamoto和Yabuta[66]考虑了参数型的广义Marcinkiewicz积分，定义如下：设Ω∈L1(sn-1)是Rn上的零次齐次函数，B是Rn中的单位球.取φ(x)=Ω(x)|x|-n+pxB(x)，且Ω满足(1.1.1)，则μpS和μ*,pλ定义为：μps(f)(x)=(∫∫Γ(x)|φ*f(y)2dydt/tn+1|)1/2=(∫∫Γ(x)||1/tp∫|y-x|≤Ω(y-x)|y-z|n-pf(z)dz|2dydt/tn+1)1/2,和μ*,pλ(f)(x)=(∫∫Rn+1(t/t+|x-y|λn)|φ*f(y)|2dydt/tn+1)1/2=(∫∫Rn+1(t/t+|x-y|)λn|1/tp∫|y-z|≤tΩ(y-z)/|y-z|n-pf(z)dz|2dydt/tn+1)1/2其中φ(x)=1/tnφ(x/t)，Γ(x)={(t，y)∈Rn+1+：|x-y|＜t}及λ＞)1. 下面给出Campanato空间的定义：称一个局部可积函数f(z)属于空间εα,p(Rn),其中l≤p<∞，-∞＜α＜1.如果f满足‖f‖α,p=supQ1/|Q|a/n(∫Q|f(y)-fQ|pdy)q/p＜∞.其中上确界是对Rn中所有与坐标轴平行的方体所取的，fQ表示f在方体Q上的平均.即，fQ=q/|Q|∫Qf(x)dx.当0＜α＜1时，则εα,p(Rn)=Lipα(Rn)且两者具有相同的范数；若α=0，则ε,p(Rn)恰好就是BMO(Rn)；若-n/p≤α＜0，则ε,p(Rn)和Morrey空间Lp,n+pα(Rn)是等价的. 称Ω满足Lq-Dini条件，如果Ω是Rn中的零次齐次函数，Ω(x)∈Lq(sn-1)且满足∫10ωq(δ)/δdδ＜∞,(1.1.2)其中ω(δ)=sup|p|≤δ(∫Sn-n|Ω(px)-Ω(x)|qdt)1/q，而p是Rn上的旋转且|p|=supx'∈Sn-n|px'-x'|.与此相关的所谓的”Dini”条件还有∫10ω2(δ)/δ(1+|logδ|)σdδ＜∞，σ>1(1.1.3).

目录

文摘

英文文摘

致谢

第一章广义Marcinkiewicz积分算子在Campanato空间的存在性和有界性

第二章具有粗糙核的Macinkiewicz积分算子交换子的Lipschitz估计

第三章Littlewood-Paley算子的多线性交换子的加权不等式估计

第四章向量值奇异积分算子的多线性交换子的加权不等式估计

第五章奇异积分算子的交换子在齐型空间上的弱型估计

第六章分数次积分算子的交换子在齐型空间上的弱型估计

参考文献