扭曲网格上扩散方程的线性精确差分格式

摘要

本文研究了扭曲网格上扩散方程的数值求解问题，主要内容包括各种线性精确格式的构造、分析和数值试验。线性精确方法是一种在扭曲网格上构造扩散方程高精度有限体积格式的启示性途径，它要求当扩散方程的解析解是关于自变量的线性函数并且扩散系数是常数时每一个离散步骤都是精确成立的。在此框架下我们首先利用离散泛函分析工具从理论上证明了结构四边形网格上基于网格节点双线性插值九点格式的数值稳定性和收敛性。接下来我们利用线性精确方法改进了结构四边形网格上基于变分原理构造的有限体积格式，新的格式突破了边界条件的限制，可以在统一的框架下求解各类边值问题;在此基础上我们证明了改进后的格式与支撑算子格式的某种等价性。最后我们讨论了非结构网格上扩散方程的数值求解问题，将前述基于变分原理的线性精确格式推广到非结构三角网格情形。在上述各部分内容中，我们都通过一些算例考察了线性精确格式在扭曲网格上的数值表现，获得了满意的数值结果。我们的分析及数值试验表明，在构造扭曲网格上扩散方程的高精度有限体积格式方面，线性精确方法不失为一条有效的途径。

目录

声明

摘要

第一章 绪论

§1．1 研究背景

§1．2 相关研究工作

§1．3 本文的主要工作

第二章 基于双线性插值的线性精确格式

§2．1 线性精确格式的构造

§2．2 线性精确格式的数值稳定性与收敛性

§2．3 数值算例

§2．4 结论

第三章 求解扩散方程的支撑算子方法

§3．1 引言

§3．2 局部支撑算子格式的构造

§3．3 数值算例

§3．4 结论

第四章 基于变分原理的线性精确格式

§4．1 引言

§4．2 格式的构造

§4．3 加权系数的选取

§4．4 与支撑算子格式的关系

§4．5 数值算例

§4．6 结论

第五章 非结构三角网格上的线性精确格式

§5．1 引言

§5．2 线性精确格式的构造

§5．3 数值算例

§5．4 结论

第六章 总结与展望

参考文献

致谢