自适应间断有限元方法求解三维欧拉方程的研究

摘要

在很多实际工程问题中都需要用计算机求解微分方程.特别在处理三维问题时，为了把误差控制在足够小的范围内，往往要把计算网格划分的很细，随之是单元总数将急剧增加，导致计算机内存空间的需求迅速增大.然而很多方程在绝大部分区域解是光滑的，间断只出现在小部分区域.如果采用一致的细网格，这无疑是对计算资源的浪费.为了更有效率的解决这样一类问题，我们需要自适应方法，它的基本目标就是把设计网格的工作交给计算机自动完成，不再需要人们手工干预，实现节省大量工作和时间的目的.
　　间断有限元方法(DG)具有局部守恒、易于处理复杂几何区域、允许出现间断、形式上的高精度、容易实现并行化和h-p自适应等特点，因此非常适用于求解流体力学方程.本文研究如何将自适应方法与间断有限元方法相结合求解三维欧拉方程，并给出数值算例.
　　第一章介绍间断有限元方法的发展历史，给出了一些间断有限元方法的研究成果.阐述了自适应方法的背景及其应用价值，并介绍了自适应方法的基本思想与分类.
　　第二章研究相容四面体网格自适应间断有限元方法，其中网格剖分部分我们利用了已有的Alberta软件包，这为我们的工作带了极大的便利.文中我们给出了四种自适应策略，以及数据传递的方法，并且在几个数值例子上验证了方法的有效性.
　　第三章研究不相容网格上的自适应间断有限元方法.主要是对相容网格自适应间断有限元方法中，粗网格到细网格过渡层很宽的问题做了改进.由于没有软件包支持这种类型的网格剖分，我们编制了相应的程序，这也是我们研究中遇到的最大挑战.同时给出了数据传递规则，自适应策略，误差指示子等一系列相关处理办法，最后的数值例子清楚地实现了我们最初的设计意图.
　　第四章讨论时间上的自适应间断有限元方法，即局部时间步长方法(LTS).我们对原有的高阶黎曼解法器(HEOC)做了修改，使之可以用在间断有限元方法数值流通量的计算中.然后我们把LTS技术应用到间断有限元方法中.在数值例子中，有限元空间取为二次多项式空间，通过在不同网格尺度上与传统的间断有限元方法的比较，结果验证了本方法的有效性.

目录

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摘要

第一章 前言

1．1 研究背景及意义

1．2 间断有限元方法

1．3 自适应有限元方法

1．4 本文的主要工作

第二章 相容网格自适应间断有限元方法

2．1 问题背景

2．2 间断有限元方法

2．2．1 空间离散

2．2．2 时间离散

2．3 自适应策略与算法

2．3．1 自适应网格单元局部编号

2．3．2 网格的加密

2．3．3 网格的粗化

2．3．4 自适应策略

2．4 自适应网格数据处理

2．4．1 网格数据结构

2．4．2 数据传递

2．4．3 误差指示子

2．4．4 双曲守恒律方程中的自适应

2．5 数值实验

2．5．1 前台阶问题

2．5．2 黎曼问题

2．6 总结

第三章 不相容网格自适应间断有限元方法

3．1 问题背景

3．2 自适应策略与算法

3．2．1 网格的自适应

3．2．2 数据传递

3．2．3 AMR策略

3．2．4 误差指示子

3．3 数值例子

3．3．1 三维激波管问题

3．3．2 前台阶问题

3．4 总结

第四章 局部时间步长间断有限元方法

4．1 问题背景

4．2 间断有限元方法的时空展开

4．2．1 间断有限元方法时空离散

4．2．2 Cauchy-Kowalewski方法

4．3 广义黎曼问题解法器

4．4 局部时间步长法

4．5 计算细节与数值实验

4．5．1 计算细节

4．5．2 数值算例

4．6 结论

附录

参考文献

致谢

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