自适应间断有限元方法求解三维可压缩欧拉方程

摘要

偏微分方程（组）广泛应用于大气物理、天体物理、燃烧与爆炸理论、航空与航天、惯性约束聚变、石油勘探等众多领域.本文研究的欧拉方程组和辐射扩散方程组具有很强的物理意义，是辐射流体力学研究的主要内容.如何高效快捷的求解该类非线性问题成为广大科研工作者探索的一个重要课题.
　　 自适应间断有限元方法和预处理的Jacobian-free Newton-Krylov(JFNK)方法具有计算量小，易于处理大规模、多尺度的高度非线性问题的特点.因此，这两类方法被广泛应用于流体力学和传热学领域.本文通过设计合理的算法，保证自适应间断有限元方法和预处理的JFNK方法具有高效求解该类非线性问题的特点，利用数值算例验证了我们方法的有效性.
　　 第一章首先回顾了各种间断有限方法，其中主要包括:Runge-Kutta间断有限元方法，Lax-Wendroff时间离散的间断有限元方法，局部间断有限元方法.其次，介绍了三类自适应方法的发展和基本思想.最后，介绍了非精确Newton方法和Krylov子空间方法，并且详细阐述了GMRES方法、BiCGSTAB方法和TFQMR方法，我们分析了这三类方法之间的联系，并比较了其优缺点.
　　 第二章应用自适应LWDG方法求解三维双曲守恒律方程组，文中给出一种自适应策略，其中均衡折中策略适用于非相容四面体网格.将二维情形下的后验误差指示子推广到三维双曲守恒律方程组中，与传统的二阶RKDG方法相比，该方法具有计算量小和精度高的特点.数值实验证明了方法的有效性.
　　 第三章利用自适应间断有限元方法在非相容四而体网格上求解三维可压缩欧拉方程.通过选取不同物理量的梯度作为网格加密或粗化的条件，比较了在三维非相容网格情形下用密度，能量，压力和焓作为误差指示子的效果.数值实验表明选用不同物理量作误差指示子的效率.
　　 第四章研究了相容四面体网格下重构的自适应间断有限元方法.通过对DG解在单元中心处进行泰勒展开，并且采用间断有限元方法计算本单元以及相邻单元的平均值和一阶导数值，有效地减少了求解三维可压缩Euler方程的计算量.与二阶的自适应RKDG方法相比，重构的自适应间断有限元方法具有计算量小的特点.
　　 第五章采用局部时间步长的自适应间断有限元方法求解三维可压缩欧拉方程.我们将改进的Osher NC流通量应用到间断有限元方法数值流量的计算中，与统一步长的自适应间断有限元方法相比，该方法具有计算量小的特点.
　　 最后一章针对大规模非线性标量方程组的离散求解问题，研究JFNK方法.该方法最重要的优点在于不需要形成和存储非线性方程的Jacobi矩阵.为了应用预处理技术求解一类非平衡辐射扩散与物质温度热传导耦合方程组，我们设计了两类用于构造预处理的线性化方法.数值结果表明这两种预处理方法能够改进JFNK方法的收敛性.

目录

声明

摘要

第一章 前言

1．1 研究背景及意义

1．2 间断有限元方法

1．3 自适应方法

1．4 非精确Newton法

1．5 Krylov子空间方法

1．5．1 GMRES方法

1．5．2 BiCGSTAB方法

1．5．3 TFQMR方法

1．6 本文的主要工作

第二章 Lax-Wendroff时间离散的自适应间断有限元方法求解三维可压缩欧拉方程

2．1 引言

2．2 Lax-Wendroff时间离散的间断有限元方法

2．2．1 离散格式

2．2．2 统一时间步长

2．2．3 光滑指示子

2．3 自适应策略

2．4 自适应算法

2．5 非相容网格的存储结构与数据传递

2．5．1 非相容网格的存储结构

2．5．2 数据传递

2．6 数值算例

2．6．1 精度验证

2．6．2 前台阶问题

2．6．3 坑道问题

2．7 本章小结

第三章 h-自适应间断有限元方法光滑指示子的比较

3．1 引言

3．2 高阶保正的间断有限元方法

3．3 光滑指示子

3．4 数值结果

3．4．1 三维激波管问题

3．4．2 前台阶问题

3．4．3 激波在具有凸台阶管道中的传播问题

3．5 结论

第四章 重构的自适应间断有限元方法求解三维可压缩欧拉方程组

4．1 引言

4．2 重构的间断有限元方法

4．3 重构算法

4．4 数值算例

4．5 本章小结

第五章 局部时间步长自适应间断有限元方法

5．1 引言

5．2 间断有限元方法时空离散

5．3 Osher NC流函数

5．4 局部时间步长

5．5 空间与时间的自适应

5．6 数值算例

5．7 本章小结

第六章 预处理JFNK方法求解辐射扩散方程组

6．1 引言

6．2 辐射扩散方程组

6．2．1 辐射扩散模型

6．2．2 一维辐射扩散方程组的边界条件

6．2．3 二维辐射扩散方程组的边界条件

6．2．4 全隐格式

6．3 预处理JFNK方法

6．4 线性化方法和预处理技术

6．4．1 线性化方法

6．4．2 预处理矩阵的连续形式

6．4．3 预处理矩阵的离散形式

6．4．4 预处理矩阵的求解过程

6．5 数值算例一

6．5．1 一维辐射扩散方程的数值算例

6．5．2 二维辐射扩散方程的数值算例

6．6 数值算例二

6．6．1 不含间断系数的辐射扩散方程组

6．6．2 含间断系数的辐射扩散方程组

6．7 本章小结

参考文献

致谢

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