代数多重网格法研究及在信号完整性分析系统中的应用

摘要

本文对代数多重网格法(AMG)在求解由偏微分方程有限元离散得到的大型稀疏对称线性方程组上的应用进行了研究。特别针对信号完整性(SI)分析系统中，对Maxwell方程在时间域和频率域进行边型有限元(Edge Finite Element)离散后得到的大型稀疏对称线性方程组上代数多重网格法的应用进行了研究，针对SI分析系统中特殊的三棱柱网格结构提出了经过修改的AMG算法(SI—AMG)，并和Krylov子空间法结合来求解SI分析系统中碰到的超大规模线性方程组。 SI-AMG算法中，由于三维有限元网格是由多层具有完全相同结构的二维有限元网格相互连接组成，因此只需对一层网格进行粗化，其中辅助矩阵的传递算子的构造与普通AMG法一样，系数矩阵的传递算子按照普通AMG中方法构造后再沿拓到整个三维有限元网格，粗网格上辅助矩阵和系数矩阵的计算仍采用Galerkin方法。 对经典的迭代算法进行了描述，其中有Gauss-Seidel法，实系数共轭梯度法(CG)、复系数共轭梯度法(Complex CG)、BiCG(BiConiugate Gradient)法、BiCGSTAB(BiConjiugate Gradient Stabilized)法，并且推导了实系数预处理共轭梯度法(PCG)和预处理BiCGSTAB法。 针对SI分析系统在时间域生成的实对称正定(SPD)线性方程组，将SI—AMG作为预处理共轭梯度法(PCG)中的预处理算子；针对频率域生成的复系数稀疏对称线性方程组，将SI-AMG作为预处理BiCGSTAB法中的预处理算子。当然，后者也可用于求解SPD线性方程组。 最后，给出了SI分析系统碰到的一些实例，给出了网格粗化结果，并对不同的迭代法进行了比较，相对于其它迭代方法，SI-AMG预处理方法具有非常快的收敛速度。

目录

文摘

英文文摘

致谢

第一章绪论

第二章大型稀疏矩阵迭代法

2.1单步线性定常迭代

2.1.1 Jacobi迭代

2.1.2 Gauss-Seidel迭代

2.1.3收敛性分析

2.1.4其它迭代方法

2.2线性非定常迭代

2.2.1共轭梯度法

2.2.2复系数共轭梯度法

2.2.3适用于对称矩阵的BiCG法

2.2.4 BiCGSTAB法

2.2.5收敛性分析

2.2.6其它迭代方法

2.3预处理方法

2.3.1预处理共轭梯度法

2.3.2预处理BiCGSTAB法

2.3.3分析

2.3.4.其它预处理方法

第三章代数多重网格法

3.1代数多重网格的构造

3.1.1辅助矩阵

3.1.2粗化

3.1.3传递算子

3.2代数多重网格法的求解(V循环)

3.2.1算法描述

3.2.2光滑迭代算子

3.2.3直接解法的选取

3.2.4收敛性说明

第四章代数多重网格法在信号完整性分析系统中的应用研究

4.1特殊的网格结构

4.2 SI-AMG的构造

4.2.1粗化算法

4.2.2辅助矩阵及其传递算子

4.2.3系数矩阵及其传递算子

4.3以SI-AMG作为预处理步骤的预处理方法

4.3.1算法描述

4.3.2可行性分析

4.3.3在信号完整性分析系统中的应用

第五章数值算例

5.1代数多重网格粗化算例

5.2代数多重网格法求解算例

5.2.1时间域仿真

5.2.2频率域仿真

结束语

参考文献