曲线曲面造型中的三类几何逼近

摘要

在计算机辅助几何设计中，为了压缩信息或计算方便，常用形式相对简单的曲线曲面来近似地代替已知的曲线曲面，并且使得两者之间的几何误差尽量少.这种逼近与传统的函数逼近有所不同，其以几何图像为逼近对象，以几何位置误差为逼近误差，故称其为曲线曲面的几何逼近.它是几何设计的一项重要研究课题.本文对三类几何逼近问题做了系统的理论研究，即参数曲线曲面的降阶逼近和导矢界逼近，以及有理三角曲面的分片线性逼近.主要取得了以下创新性理论成果：
　　 1.Bézier曲线约束降阶逼近：给出了Bézier曲线分别在保端点参数连续和保几何连续两种约束条件下的最佳显式降多阶算法.在保端点参数连续约束条件下，应用分而治之的思想，将降阶曲面的待求控制顶点分为约束控制顶点和未约束控制顶点.先利用约束条件，求得约束控制顶点.然后利用单变量Jacobi多项式与Bernstein多项式之间的转换关系以及Jacobi多项式的正交性，将降阶问题转换到一个不等精度的最小二乘问题，进而求出未约束控制顶点.该算法具有逼近误差最小、降阶曲面控制顶点显式表示、保端点高阶插值、一次降多阶、误差预报、计算时间少等六个优点.特别地，以该算法所得到的逼近误差为目标函数，巧妙地得到了Bernstein多项式在保端点高阶几何连续约束条件下的最佳显式降阶逼近，并且进一步给出了Bèzier曲线保端点G1连续的最佳显式降多阶算法，彻底解决了已有文献在保几何连续约束条件下，只能给出降阶曲线数值解的问题.本文算法简单直观，在CAD/CAM系统中的数据通讯、数据压缩、曲线求交求积等方面有着重要应用.
　　 2.张量积Bèzier曲面约束降阶逼近：分别给出了在无约束、保角点高阶插值以及保边界高阶连续三种约束条件下的最佳显式一次降多阶算法.在无约束情形下，利用Jacobi多项式与Bernstein多项式之间的转换关系以及Jacobi多项式的正交性，给出了降阶曲面的矩阵表示以及先验误差.在保角点高阶插值约束条件下，利用降维的思想，将控制顶点重新排序成一维，再结合曲线降阶算法，给出了最佳显式降阶逼近.在保边界高阶连续的约束条件下，先根据边界约束条件确定降阶曲面的约束控制顶点，再通过最小二乘法，求得降阶曲面的矩阵表示，保证了连续拼接曲面片在降阶后仍保持原来的连续阶，适应CAD/CAM系统的造型要求.
　　 3.三角Bèzier曲面约束降阶逼近：给出了连续拼接的三角Bèzier曲面以及离散曲面在其子曲面片同时降阶后，达到整体C1连续的最佳显式降多阶算法.首先根据约束条件确定约束控制顶点，然后利用降维思想将其转换到曲线降阶问题，最后利用三角Jacobi多项式和三角Bernstein多项式之间的转换关系以及三角Jacobi多项式的正交性，分别求得子曲面片的最佳降阶逼近，并且给出了先验误差.该方法具有操作简单、精度高、速度快的特点.
　　 4.参数曲线曲面导矢界逼近：利用一类特定分式线性参数变换，对有理参数曲线曲面进行重新参数化.重新参数化后的曲线曲面保持控制顶点和定义域不变，而仅仅改变权因子及参数分布.利用重新参数化技术，给出了两种优化权因子方法，一是将最大权因子和最小权因子之间的比值最小化，二是将对数化后的权因子的方差最小化.在已有文献成果的基础上，导出有理曲线曲面更紧的导矢界，从而可以进一步优化几何设计系统的效果与效率.
　　 5.有理三角曲面的分片线性逼近：给出了定义域为任意三角形的C2连续有理三角曲面的分片线性逼近.并且利用重新参数化技术，在已有成果的基础上，进一步改进了有理三角Bézier曲面的分片线性逼近效果.这在参数曲面的求交、绘制等方面具有极高的应用价值.

目录

文摘

英文文摘

致谢

第一章 绪论

1.1 CAGD的简要发展史

1.2 CAGD中几何逼近的研究内容

1.2.1 几何设计的几大研究课题

1.2.2 几何逼近的几个主要分支

1.3 参数曲线曲面的降阶逼近

1.3.1 曲线的降阶技术

1.3.2 曲面的降阶技术

1.4 有理参数曲线曲面的导矢界逼近

1.5 有理参数曲线曲面的分片线性逼近

1.6 本文的贡献

第二章 Bézier曲线的约束降阶逼近

2.1 引言

2.2 Bézier曲线约束降阶问题的描述

2.3 预备知识

2.4 保端点高阶参数连续的Bézier曲线最佳约束降多阶逼近

2.4.1 约束降阶问题的分解

2.4.2 约束降多阶问题向无约束降多阶问题的转化及求解

2.4.3 约束降多阶的逼近误差

2.4.4 实例分析

2.5 保端点几何连续的Bézier曲线最佳约束降多阶算法

2.5.1 Bernstein多项式几何连续约束降阶算法

2.5.2 Bézier曲线G1连续约束最佳显式降阶算法

2.5.3 实例分析

第三章 张量积Bézier曲面的约束降阶逼近

3.1 引言

3.2 张量积Bézier曲面约束降阶问题的描述

3.3 Bézier曲面无约束显式最佳降多阶

3.4 角点约束情形

3.4.1 角点约束条件

3.4.2 控制顶点排序

3.4.3 最小二乘求解

3.5 边界约束情形

3.5.1 约束控制顶点的选取

3.6 实例分析

第四章 三角Bézier曲面约束降阶逼近

4.1 引言

4.2 预备知识

4.2.1 三角域上的Jacobi基

4.2.2 曲面控制顶点的一维排序

4.3 降阶问题描述及边界预处理

4.3.1 降阶逼近问题的描述

4.3.2 边界约束

4.3.2 角点约束

4.4 保边界连续约束的三角Bézier曲面最佳降阶逼近

4.4.1 两拼接曲面保边界C1连续降阶逼近

4.4.2 离散曲面整体C1连续降阶逼近

4.5 保角点约束的三角Bézier曲面最佳降阶逼近

4.6 实例分析

第五章 有理参数曲线曲面的导矢界逼近

5.1 引言

5.2 预备知识

5.3 曲线曲面上的Mobius变换

5.4 应用Mobius变换缩小导矢界

5.4.1 最大权因子和最小权因子比值的最小化

5.4.2 权因子对数化后的方差最小化

5.5 实例分析

第六章 有理三角曲面的分片线性逼近

6.1 引言

6.2 C2连续三角曲面的分片线性逼近

6.3 有理三角Bézier曲面的分式线性逼近

6.4 实例分析

第七章 总结与展望

参考文献

作者简历

攻读博士学位期间的主要研究成果