Helmholtz方程Neumann边界问题的一类高精度有限差分格式

摘要

Helmholtz方程在科学与工程计算中都有非常重要的应用。例如电磁学波的衍射问题,周期作用下的动力系统等都可以当做Helmholtz方程的边界问题来进行求解。这些偏微分方程在通常情况下是不具备精确解的,所以我们只能在尽可能减小误差的前提下得到它的近似解。
　　 本文首先介绍了常系数Helmholtz方程目前能到达的最高为六阶的差分格式的构建过程,在构建过程中用到了HODIE方法来对右边项进行离散。并对于Helmholtz方程Neumann边界问题的四阶精度的常用处理方法进行了介绍。本文的主要工作是在此基础上用两种不同的方法将Neumann边界条件的差分离散精度提高到五阶:在第一种方法中,我们首先对Poisson方程的Neumann边界上的导数值用邻近的点进行差分近似,得到一个差分格式。接着将这个格式使用到Helmholtz方程上,分析两者的差异,补足差异的部分来得到。而第二种方法则是通过在Neumann边界上取多个点,利用这些点的一阶导数值是已知的来进行差分近似,得到附近点的一个关系式来构造出一个差分格式。这两种方法都使得Helmholtz方程Neumann边界问题的离散精度得到了提高。文章在最后还给出了几个数值例子来验证了这两种Neumann边界上的处理方法是具有五阶精度的。

目录

文摘

英文文摘

第1章 绪论

1.1 引言

1.2 椭圆方程差分格式的创建

1.3 文章结构

第2章 Poisson方程差分格式

2.1 大致介绍

2.2 Poisson方程的五点格式

2.3 利用HODIE方法的九点格式

2.4 本章小结

第3章 Helmholtz方程的有限差分格式

3.1 准备工作

3.2 二阶及四阶精度差分格式的构造

3.3 六阶精度差分格式的构造

3.4 应用HODIE方法离散右边项

3.5 本章小结

第4章 Helmholtz方程Neumann边界的差分方法

4.1 常用的四阶精度方法

4.2 本章小结

第5章 Neumann边界更高阶离散格式的创建

5.1 Poisson方程的尝试

5.2 Poisson方程上的实现

5.3 Helmholtz方程上的实现

5.4 本章小结

第6章 对Neumann边界取用更多点的方法

6.1 方法简介

6.2 Poisson方程上的方法

6.3 Helmholtz方程上的方法

6.4 本章小结

第7章 数值例子

7.1 Poisson方程的数值例子

7.2 Helmholtz方程的数值例子

7.3 本章小结

参考文献

致谢