一类求解带有间断系数的Helmholtz方程高精度差分方法研究

摘要

Helmholtz方程有着广泛的物理背景和众多的应用领域，如声波散射问题，结构的振动问题和电磁学散射问题等都可以用它来描述。但在实际应用中得到其解析解往往比较困难，因此人们常常采用有限差分方法、有限元方法、有限体积方法等数值方法给出其较高精度的数值解。由于Helmholtz方程所描述物理问题的特点为数值计算带来了许多挑战，尤其是无界域和大波数等问题，仍有大量的问题没有解决，特别是有效的数值计算方法，还有待于人们进一步去研究。
　　通常，带有界面问题的偏微分方程的解在穿过界面时是不连续的，当采用有限差分方法求解带有界面问题的Helmholtz方程时，求解精度常无法达到预期精度，目前已经发展的浸入边界方法、调和平均法和浸入界面法等方法可对此类情况进行处理，使计算结果达到预期的精度。
　　本文主要利用浸入界面方法对带有不连续系数和奇异源项的Helmholtz方程进行求解。首先，利用文献中提出的用于求解波数连续情况下一维、二维Helmholtz方程的四阶、六阶紧致差分格式，结合浸入界面方法，建立了波数不连续时求解一维Helmholtz方程的四阶、六阶紧致差分格式，同时对于Neumann边界条件分别采用四阶、六阶精度的差分格式进行逼近;其次，将构造的差分格式推广至二维Helmholtz方程的求解，建立了波数不连续时的四阶紧致差分格式，另外，在构造波数不连续Helmholtz方程的六阶精度差分格式时，对界面外的点采用六阶精度求解，界面上的点采用四阶精度格式进行处理，整体求解精度保持在四阶，保证了格式的紧致性。对二维问题，Neumann边界条件均采用四阶精度差分格式进行逼近。最后，通过数值实验验证了文中构造的格式的精度和有效性。

目录

声明

摘要

第一章 前言

1．1 研究背景及意义

1．2 国内外研究现状

1．3 本文的主要工作

第二章 一维问题

2．1 问题描述

2．2 四阶紧致差分格式的构造

2．3 六阶紧致差分格式的构造

2．4 Neumann边界条件的处理

2．5 数值实验

2．6 本章小结

第三章 二维问题

3．1 问题描述

3．2 四阶紧致差分格式的构造

3．3 六阶紧致差分格式的构造

3．4 Neumann边界条件的处理

3．5 数值实验

3．6 本章小结

第四章 结论及展望

4．1 结论

4．2 展望

参考文献

致谢

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