子流形整体几何与平均曲率流的若干研究

摘要

本文着重研究子流形的整体几何和保体积平均曲率流的收敛性.主要内容包括：空间形式中子流形在Ricci曲率拼挤(pinching)条件下的刚性定理和拓扑球面定理；球面中平行平均曲率子流形在数量曲率拼挤条件下的刚性定理；球面中具平行单位平均曲率向量子流形的余维数压缩定理；局部对称空间中平行平均曲率子流形的刚性定理；空间形式中保体积平均曲率流在曲率积分条件下的收敛性定理等.本文主要分四部分。
　　 本文第二章证明了空间形式中紧致子流形在Ricci曲率拼挤条件下的刚性定理和拓扑球面定理.上世纪六十年代末，Simons、Lawson、Chern、doCarmo和Kobayashi证明了球面中闭极小子流形的著名刚性定理.之后，Ejiri和Y.B.Shen得到了球面中极小子流形在Ricci曲率拼挤条件下的刚性定理，Hai-Zhong Li在奇数维情形改进了拼挤常数.最近，Xu-Gu将Ejiri刚性定理完整地推广到空间形式中平行平均曲率子流形的情形.我们研究了球面中奇数维平行平均曲率子流形的刚性问题，证明：若M是Sn+p中n(≥5)维紧致可定向平行平均曲率子流形，n为奇数，且RicM>C(n，p，H)，则M为全脐球面Sn(1√1+H2)，其中C(n，p，H)为依赖于n，p和日的正常数.上述定理改进了奇数维时Xu-Gu定理中的拼挤常数，进一步，运用Lawson-Simons-Xin稳定流不存在性定理，我们证明：若M为Fn+p(c)(c≥0)中n(≥5)维紧致子流形，n为奇数，且RicM>(n-2-∈n)(C+H2)，则M拓扑同胚于球面，其中∈n为仅与n相关的正常数，此外，我们还证明了双曲空间中紧致子流形的拓扑球面定理。
　　 本文第三章证明了球面中平行平均曲率子流形在数量曲率拼挤条件下的刚性定理.1990年，在Okumura和Yau等学者的工作基础上、H.W.Xu完整地证明了球面中平行平均曲率子流形的广义Simons-Lawson-Chern-do Carmo-Kobayashi刚性定理.利用Ge-Lu-Tang最近证明的DDVV不等式，我们证明：设Mn为Sn+p中n维紧致可定向的平行平均曲率子流形，H(≠0)和S分别为平均曲率和第二基本形式模长平方.若S+μ2≤α(n，H)，则Mn必为全脐球面Sn(1/√1+H2)，Sn+1中的等参超曲面Sn-1(r1)×S1(r2)，S3(r)中的Clifford超曲面S1(r3)×S1(r4)，和S4(1/√1+H2)中的Veronese曲面之一.我们还证明：若Mn为Sn+p中n维紧致可定向的具平行单位平均曲率向量的子流形，且满足S+λ2<α(n，H)，则Mn落在全测地球面Sn+1之中。
　　 本文第四章讨论了局部对称空间中平行平均曲率子流形的刚性问题.上世纪九十年代，H.W.Xu首次研究了一般黎曼流形中极小子流形的刚性问题.之后，Shiohama与H.W.Xu证明了pinched黎曼流形中紧致平行平均曲率子流形的广义Simons-Lawson-Chern-do Carmo-Kobayashi-Li-Li刚性定理.在本章中我们证明：设Mn是δ-pinched局部对称空间Nn+p中紧致可定向的平行平均曲率子流形，若Mn的Ricci曲率满足给定的不等式，则M可以分类.在截面曲率条件下，我们也得到类似结果。
　　 本文第五章研究了保体积平均曲率流的收敛性问题.1987年，Huisken研究了超曲面的保体积平均曲率流，证明了欧氏空间中一致凸超曲面在保体积平均曲率流下的收敛性定理.同时，Gage研究了平面上保面积的曲线流.后来Alikakos，Freire，Escher，Simonett，McCoy，Hao-Zhao Li等都在这方面做出一些工作，最近，Cabezas，Miquel在曲率的逐点条件下证明了双曲空间中保体积平均曲率流的收敛性定理，本章中，我们在曲率的积分条件下证明了球面或双曲空间中保体积平均曲率流的收敛性定理。