量子包络代数与共形代数的若干研究

摘要

本文的主要结果分为五个部分.
　　首先，我们探讨量子包络代数在量子空间上的模代数结构和Ur，t的伴随作用.量子包络代数Ur，t是由吴在[83]中引进的.当q不是单位根且所在的域是复数域C时，我们利用类似于文章[35]中的方法，对Ur,t在量子平面上的模代数结构给出了一个完全的分类，并描述了这些表示.另外，我们还完全分类了Uq(sl(3))在量子3-空间上的模代数结构.并且，当k是特征为0的代数闭域，q∈k不是单位根时，我们对Ur,t的伴随作用进行了研究.我们描述了它的局部有限子代数结构，并刻画了Ur,t的所有理想和它的一些本原理想.
　　其次，我们研究了对应于量子包络代数Uq(f(K，H)）(见[81])的由李引进的弱Hopf代数（见[63，64]）.在第三章中，我们定义了一类新的代数，记为(m)Udq.当d=((1，1)|(1，1))时，我们把(m)Udq记为(m)1Uq;当d=((0，0)|(0，0))时，我们把(m)Udq记为m2Uq.并且，我们详细地研究了(m)1Uq和(m)2Uq.在某些情况下，我们给出了(m)1Uq和(m)2Uq成为弱Hopf代数的充分必要条件.(m)1Uq和(m)2Uq的PBW基也已给出.并且，当域是复数域C，q∈C不是单位根时，我们刻画了(m)1Uq的表示和中心.
　　第三，我们给出了一类新的量子包络代数Uq(f(K，J))和一些新的Hopf代数，这些新的Hopf代数是广义Kac-Moody李代数的量子化包络代数借助任一Hopf代数的某种扩张.这种构造推广了一些已有的在量子化包络代数上加一个Hopf代数的扩张，并且提供了一大类新的非交换非余交换的Hopf代数.
　　第四，我们引进了左对称共形代数的概念来研究顶点代数.顶点代数是用来描述2维共形场论的一个严格的数学定义.通过Bakalov和Kac在[8]中利用李共形代数和左对称代数给出的顶点代数的等价刻画，我们可以发现，在研究顶点代数时，我们需要处理这样一个问题:是否在一类特殊的李代数（形式分布李代数）上存在与它相容的左对称代数.在第六章中，我们对这个问题进行了研究.左对称共形代数和Novikov共形代数的定义可见第二章.我们在第六章中列举了很多有关这些代数的例子.最后，我们利用左对称共形代数给出了一种构造顶点代数的方法.这种构造提供了一大类有限非交换的顶点代数.
　　最后，我们讨论了共形意义下的左对称双代数.左对称双代数的定义是由白在[5]引进的，它等价于一个parak(a)hler李代数，这类李代数是带有G不变parak(a)hler结构的李群G的李代数.在第七章中，我们介绍了左对称共形余代数和左对称共形双代数的定义.并且，我们给出了李共形代数和左对称共形代数的匹配对(matched pairs)的构造.我们证明了一个有限的作为C[(a)]模是自由的左对称共形双代数等价于一个parak(a)hler李共形代数（见定义7.18）.另外，我们也得到了一个共形意义下的S-方程（见[5]），并给出了共形symplectic double的构造.

目录

声明

致谢

摘要

第1章 引言

§1．1 背景

§1．2 主要工作介绍

第2章 预备知识

§2．1 量子包络代数Ur，t

§2．2 广义Kac-Moody李代数的量子化包络代数

§2．3 共形代数

第3章 量子包络代数在量子空间上的模代数结构和Ur，t的伴随作用

§3．1 Ur，t在量子平面上的模代数结构

§3．1．1 Ur，t在量子平面上模代数结构的完全分类

§3．1．2 表示的合成序列

§3．2 Uq((s)(l)(3))在量子3-空间上的模代数结构

§3．3 Ur，t的伴随作用

§3．3．1 Ur，t的局部有限子代数

§3．3．2 Ur，t的理想

第4章 对应于Uq(f(K，H))的弱Hopf代数

§4．1 弱量子代数(m)Udq(f(K，(-K)，H，(-H)))和它的基

§4．2 (m)Udq的弱Hopf代数结构

§4．3 (m)1Uq的表示和中心

第5章 一类新的Hopf代数

§5．1 代数Uq(f(K，J))

§5．2 量子包络代数借助Hopf代数的扩张

第6章 左对称共形代数和顶点代数

§6．1 李共形代数

§6．2 左对称共形代数

§6．3 李共形代数上的相容左对称共形代数结构

§6．4 由左对称共形代数得到顶点代数的构造

§6．5 推断和前景

第7章 左对称共形双代数

§7．1 李共形代数和左对称共形代数的匹配对

§7．2 左对称共形余代数和双代数

§7．3 上边缘左对称共形双代数

参考文献

在读期间完成的论文