二步幂零Lie群上的Fourier变换及其在复分析中的应用

摘要

本文主要研究了二步幂零Lie群上的Fourier变换、八元数Heisenberg群上的正则函数和正则算子、Kohn's Laplacian算子。我们主要讨论了八元数Heisenberg群上的正则函数，并且找到了Sezg(o)投影的核函数的积分表达式，以及余维数为2的最大非退化CR流形上Kohn's Laplacian算子的基本解或相对基本解。
　　第一章介绍了二步幂零Lie群上的Fourier变换理论、Kohn's Laplacian算子、八元数分析的历史背景和研究的近现状，并介绍了本文所涉及的一些概念及本文的主要结论。
　　第二章重点介绍了八元数Heisenberg群的不可约酉表示理论，研究了八元数Heisenberg群上的Fourier变换理论，给出了群上的Plancherel公式及其扩充。
　　第三章我们考虑了八元数Heisenberg群上的正则函数和正则算子，利用群上的Fourier变换和Laguerre多项式的性质研究了相关的Laplacian算子，构造了它的核函数，并且证明了这个核函数恰好就是由L2空间到L2正则函数空间的正交投影算子的Sezg(o)核。
　　第四章研究了在余维数为2的最大非退化CR流形上的Kohn's Laplacian算子。得到了Kohn's Laplacian算子基本解或相对基本解的积分表达式，并且给出了收敛性的证明。
　　最后一章是附录部分，我们给出了八元数左乘表示矩阵的8×8矩阵形式以及其和四元数表示矩阵的关系。

目录

声明

摘要

第一章 绪论

1．1 背景

1．2 预备知识

1．3 主要结论及研究方法

第二章 八元数Heisenberg群的群表示论

2．1 八元数Heisenberg群上的Fourier变换

2．1．1 八元数Heisenberg群

2．1．2 八元数的结合子以及左乘表示矩阵

2．1．3 八元数Heisenberg群的表示论

2．2 Plancherel公式及其扩充

第三章 八元数Heisenberg群上的正则函数和Szge?映射

3．1 八元数的基本性质

3．2 □算子的矩阵形式

3．3 □算子的表示以及到□核空间的L2投影

3．3．1 □算子的表示

3．3．2 到□核空间的L2投影

3．3．3 dπλ(□)的核空间

3．4 解析延拓和主要定理的证明

第四章 □(q)b在余维数为2的最大非退化CR流形上的相对基本解

4．1 二步幂零Lie群上的Fourier变换

4．1．1 与二次流形相关的二步幂零Lie群

4．1．2 群上的Fourier变换以及Plancherel公式、逆公式

4．2 Φ是最大非退化的情形

4．2．1 □(q)b算子的表示

4．2．2 Φλ零点的确定

4．3 □(q)b的基本解或相对基本解

4．3．1 基本解或相对基本解的积分表示

4．3．2 收敛性以及定理证明

4．4 一些特殊情况下Ωn-q的确定

附录 A

A．1 Eβ的8×8-形式

A．2 Mβ的8×8-矩阵形式

A．3 矩阵Mβ与四元数表示矩阵之间的关系

参考文献

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致谢