Boussinesq型方程和Navier-Stokes方程适定性及正则性的研究

摘要

在本文中，我们依次研究了二维空间中分数次Boussinesq型方程的适定性,三维空间中不可压Boussinesq型方程的一类适当弱解的部分正则性以及三维不可压Navier-Stokes弱解的全局正则性等问题.在二维空间中，分别给出了Euler-Boussinesq型系统在次临界耗散情形的整体适定性以及在超临界（临界）情形的局部适定性和爆破准则.我们还得到了在混合超临界情形下的Boussinesq型方程的局部适定性，爆破准则以及整体适定性（小初值）.同时我们还给出了几个基于速度场v和温度θ的爆破准则，如:‖▽v‖ L1tB0∞，∞，‖▽θ‖L1tB0∞，∞，‖▽θ‖L1l√LL，‖▽θ‖L1t√LlogL等，这些都是在原有结果‖▽v‖L1t∞和‖▽θ‖L1yL∞上的推广.在三维空间中,我们主要考虑了全耗散Boussinesq型方程的一类适当弱解的部分正则性问题，并且证明了此类弱解的奇点集的一维Hausdorff测度是零.利用Caffarelli等人证明Navier-Stokes方程适当弱解的部分正则性的方法，本文证明了三维Boussinesq型方程解的正则点是H(o)lder连续的，同时我们也给出了一个关于奇点集测度的等价刻画，即解的梯度的局部一致估计.在此基础上，本文证明了当初值v0，θ0在无穷远处有充分快的衰减时，方程的适当弱解在适当的条件下也具有相同的性质，并比较具体地刻画出该弱解的正则点集的分布.我们发现Boussinesq型方程弱解的奇点与Navier-Stokes方程和MHD方程弱解对应的奇点有不同分布，在这个意义下MHD方程比Boussinesq型方程更相似于Navier-Stokes方程.最后,本文还简单介绍了弱解在边界上的局部正则的判别准则.对于三维不可压Navier-Stokes弱解正则性的判别标准的研究，我们得到了一系列结果，它们是先前结论的推广和改善,主要包括基于一个速度分量的拟PS判别标准、基于两个或多个速度分量的判别标准.此外，我们还给出各向异性可积性的判别标准以及在Besov框架下的判别标准等结果.

目录

摘要

第一章 绪论

1．1 分数次Boussinesq型方程的研究

1．2 三维Boussinesq型方程的部分正则性研究

1．3 三维Navier-Stokes方程解的正则性判定

第二章 Littlewood-Paley理论

2．1 Littlewood-Paley分解理论

2．2 齐次和非齐次Besov空间

2．3 仿积运算

2．4 交换子估计及在方程中的应用

第三章 二维Euler-Boussinesq型方程的适定性及爆破准则

3．1 主要结果

3．2 局部解的存在唯一性

3．3 爆破准则和整体适定性

3．3．1 次临界情形的整体适定性

3．3．2 临界与超临界情形的爆破准则

3．4 定理3．1．2的证明

第四章二维广义Boussinesq型方程的整体适定性

4．1 主要结果

4．2 局部解的存在唯一性

4．2．1 线性化方程的估计

4．2．2 一致性估计

4．2．3 存在唯一性

4．3 爆破准则

4．3．1 基于速度的爆破准则

4．3．2 基于温度的爆破准则

4．4 整体适定性

第五章 三维Boussinesq型方程适当弱解的部分正则性

5．1 主要结果

5．2 命题5．1．2的证明

5．3 解的梯度估计

5．4 正则点集的分布

5．5 边界正则性

第六章 三维Navier-Stokes方程解的正则性判别标准

6．1 基于一个速度分量的判别标准

6．2 基于两个或多个速度分量的判别标准

6．3 各向异性可积性的判别标准

第七章 问题和展望

参考文献

发表和录用的文章目录

简历

致谢