p.c.f.自相似集上的“热点”猜想及分形插值函数

摘要

本文主要包括两方面的工作.
　　1.“热点”猜想.“热点”猜想是由J.Rauch于1974年提出的，其研究区域是欧式空间中的区域.2012年，利用谱提取算法，阮火军在Sierpinski垫片上证明了“热点”猜想成立.本文继续这方面的工作，在一些p.c.f.自相似集上考察“热点”猜想，证明了“热点”猜想在高维的Sierpinski垫片上成立，但是在六角垫片上不成立.从而得出，对于一般的p.c.f.自相似集“热点”猜想不成立.
　　2.分形插值函数.首先对于定义在p.c.f自相似集上的分形插值函数，本文刻划了它们能量有限的充要条件.接着对于Sierpinski垫片(SG)上具有一致纵向尺度的分形插值函数，本文讨论了它们的Laplacian算子.作为应用，证明了以下Dirichlet问题的解为一致纵向尺度因子为1/5的分形插值函数:{u（qi）=qi,i=1，2，3，Δu（x)=η，x∈SG\{q1，q2，q3}其中q1，q2，q3为SG的边界点，a1，a2，a3,η∈R.最后对于SG上一类具有相同纵向尺度因子的分形插值函数，研究了它们的最值问题，得出它们与基本函数具有相同取值范围的充分必要条件.

目录

声明

摘要

插图

1 绪论

2 分形分析中的基本概念以及分形插值函数

2．1 p．c．f．自相似集

2．2 p．c．f．自相似集上的能量和Laplaeian算子

2．3 p．c．f．自相似集上的分形插值函数

3 高维Sierpinski垫片上的“热点”猜想

3．1 高维Sierpinski垫片上的Laplacian算子

3．2 KN上的谱提取理论

3．3 主要结果

4 嵌套分形集上“热点”猜想的反例

4．1 六角垫片上的Laplacian算子

4．2 六角垫片上的谱提取理论

4．3 六角垫片上的“热点”猜想问题

5 分形插值函数的能量和Laplacian算子

5．1 分形插值函数具有有限能量的刻划

5．2 Sierpinski垫片上分形插值函数Laplacian算子

5．3 关于定理5．1的注记

6 Sierpinski垫片上分形插值函数的最值问题

6．1 定理6．1的证明

7 总结及展望

参考文献

致谢

作者简历