求解强非线性振动系统的通用化程序及应用

摘要

作为待定固有频率法的理论基础，规范形理论是高维非线性动力系统简化、降维的有效手段。待定固有频率法的出现则有效地拓展了规范形理论的应用范围，并且在强非线性振动系统静态、动态分岔分析等领域都取得了丰富的理论成果，并在此基础上开展了有关低维系统的静态与动态分岔问题的研究。然而，该方法在求解多自由度复杂系统稳态响应及研究以工程实际问题为背景的非经典力学系统等方面仍存在亟待解决的关键问题，主要表现为：①研究对象多集中于具有立方非线性项的典型动力系统，缺乏对含有更广泛非线性项的通有系统的研究，因而制约了理论在实际问题中的应用；②规范形求解过程中涉及近恒同变换系数计算的重复性工作较多，缺乏通用化的求解程序。因此，针对上述两方面的问题，本文开展的主要研究内容及成果如下：
　　 (1)采用待定固有频率法，运用符号运算语言Mathematica编写了强非线性系统稳态响应计算的通用化求解程序。应用模块化思想，将整体分析流程划分为相对独立的计算单元，并且设计了相对独立单元之间的程序接口，实现了数据流在参数选取、规范形计算、定常解获取等在内单元间的实时传输。有效地提升了研究人员分析复杂问题的运算效率，也为深入研究高维复杂系统的稳定性、分岔特性等课题奠定了良好的基础。应用本文程序分别计算了单自由度、两自由度、三自由度强非线性振动系统的稳态渐近解，并画出了相图，通过与数值积分结果和传统规范形方法所得结果相比较，验证了该程序的通用性及有效性。
　　 (2)研究了一类两自由度耦合双壁碳纳米管的强非线性振动问题，考察了具体参数取值情况下阻尼系数和激振力对于振动幅值的影响。将程序运行得到的解析解与数值结果和由传统复规范形理论计算所得结果相比较，验证了程序化方法的求解精度，同时也体现了通用化程序设计思想在提高待定固有频率法分析复杂问题计算效率方面的优势，有助于促进动力学理论在具有实际应用背景问题中的广泛应用。