利用拓展的Zeilberger算法推导超几何函数的变换公式

摘要

超几何函数是数学中的一个重要课题。Euler发现超几何函数是一个二阶线性微分方程的解，该方程也被称为Euler超几何微分方程。一般情况下，超几何函数的代数变换公式是通过它们所满足的超几何微分方程之间的pull-back变换而导出的。本文尝试使用拓展的Zeilberger算法来推导超几何函数的代数变换公式。
　　 我们证明，在初值为1的条件下，超几何函数2F1(a，b；c；x)是超几何微分方程的唯一幂级数解。给定含参量有理函数ρ(x)，及根式函数θ(x)，通过使用拓展的Zeilberger算法，可以得到函数θ(x)2F1(A，B；C；ρ(x))与其一阶、二阶导数的一个线性关系式。设它与超几何微分方程等价，通过比较两微分方程的系数，可以解得未知参数之间的关系。这样，若函数θ(x)2F1(A，B；C；ρ(x))初值为1，且能展开成幂级数，那么，就可得到所有满足形式2F1(a，b；c；x)=θ(x)2F1(A，B；C；ρ(x))的代数变换公式。
　　 本文以推导所有满足形式2F1(a，b；c；x)=(1+rx)α2F1(A，B；C；x(dx+e))的代换公式为例，详细说明推导过程。并且在论文的最后，列出了在某些形式下的推导结果。