插值公式和插入算法在q-级数中的应用

摘要

基本超几何级数，简称为q-级数，在过去二十多年发展极为迅速，并在组合学、数论、物理学和计算机代数学中有着广泛应用。多项式插值理论是逼近论和数值计算中重要的研究内容。利用微分算子这一工具，本文将深入研究插值公式在基本超几何级数中的应用（第二、三、四章）。同时，构造性的分拆理论也是一个非常丰富的学科，它包含许多经典的结论，这些结论在二十世纪深深影响了计数组合学的发展。本文将利用整数分拆的生成函数这一组合工具和插入算法的思想来证明基本超几何恒等式（第五章）。
　　第一章主要介绍基本超几何级数理论中的基本概念和背景，包括双边超几何级数，椭圆超几何级数。同时我们回顾了一些经典的组合恒等式。
　　第二章主要涉及一些已知的展开式，包括牛顿和拉格朗日插值公式，q-泰勒展开式，牛顿类型的有理插值公式，刘治国的展开式等，基于这些展开式我们得出一些重要的组合恒等式。
　　在第三章中，我们给出一个2n点的插值公式，并深入研究了该插值公式在基本超几何级数中的应用。我们发现很多经典的q-级数恒等式都可以由该公式直接导出，包括终止的6(φ)5和式，Dixon定理的q-模拟，五重积的有限形式，与除数函数有关的一些q-恒等式，双基超几何等式等。
　　在第四章中，我们定义了一个新的微分算子，由此给出了一个4n点的插值公式。随后，我们将该4n点的插值公式推广到椭圆超几何级数，给出了该插值公式的椭圆模拟。并且我们分别研究了该4n点的插值公式及其椭圆模拟在基本超几何级数和椭圆超几何级数中的应用。
　　在第五章中，我们主要利用插入算法的思想来证明基本超几何恒等式。Z-算法是由组合数学家Zeilberger提出的一种证明分拆恒等式的插入算法。在本章中，我们将利用该算法的思想给出一个新的插入算法，记作Z-算法的变形。最后，我们利用该变形给出基本超几何级数中最经典的等式—拉马努金恒等式一个组合证明。