Finsler orbifold上的Gauss-Bonnet-Chern公式及相关问题

摘要

Gauss-Bonnet-Chern公式是微分几何中最重要的公式之一.它描述了几何量-曲率和拓扑不变量-Euler示性数之间的内在关系.陈省身的内蕴证明方法的重要意义在于可以应用到更广泛的度量空间.本文我们证明了Gauss-Bonnet-Chern公式在Finsler orbifold上也成立.这个证明的主要思想是陈的内蕴证明方法和D.Bao-S.Chern对Landsberg度量处理的方法.
　　余齐性为1黎曼流形已经进行了大量的研究，并得到许多有意义的结果，例如:构造Einstein度量，正或非负曲率度量等.Randers度量是黎曼度量的自然推广，因此研究余齐性为1 Randers流形也是非常有意义的.本文也研究了这类流形.
　　本文首先研究了Finsler orbifold上的Gauss-Bonnet-Chern公式.该公式与标形的体积函数有关.当标形的体积函数是常值时，我们首先讨论了2维紧致无边Landsberg orbifold的情形，接着给出了任意大于等于2维的紧致无边的Finslerorbifold的情形，然后给出了紧致带边情形的公式.最后给出了当标形的体积函数是变量情形的公式.
　　其次本文讨论了余齐性为1 Randers流形上的一些相关问题.首先完全描述了余齐性为1黎曼流形上的不变向量场.从而利用导航问题，得到余齐性为1Randers流形.然后给出了余齐性为1黎曼流形正则部分上的Killing向量场的构造，并根据这些理论给出具体的例子.
　　若一个2-形式满足Landsberg流形情形下的Gauss-Bonnet-Chern公式，这个2-形式是某个Landsberg度量的曲率形式吗？最后，我们给出了这方面进一步研究的工作.

目录

声明

摘要

第一章 引言

第二章 预备知识

第一节 orbifold

第二节 Finsler流形和Chern联络

2．2．1 标形的体积

2．2．2 齐性Randers度量

第三节 常旗曲率空间和Einstein-Randers度量

第三章 Gauss-Bonnet-Chern公式

第一节 Finsler orbifold上的曲率

第二节 标形的体积是常值的情形

3．2．1 紧致无边的情形

3．2．2 紧致带边的情形

第三节 标形的体积是变量的情形

第四章 不变的Randers度量

第一节 预备知识

第二节 不变Randers度量

第三节 Killing向量场

第五章 进一步的工作

第一节 Finsler流形上的Hodge定理

第二节 Finsler曲面

第三节 主要结论

参考文献

致谢

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