D型欧拉多项式的实根性

摘要

欧拉多项式是一类非常重要的组合多项式，其定义为对称群上关于降位统计量的生成函数。它的一个经典性质是它有且仅有实根。欧拉多项式的概念还被Brenti推广到有限Coxeter群上，此外，Dilks、Petersen和Stembridge还研究了不可约有限Weyl群上的仿射欧拉多项式。一个自然的问题是这些推广的多项式是否也都是实根多项式？其中，最为困难的问题是D型欧拉多项式的实根问题，直到2013年才由Savage和Visontai应用s-欧拉多项式的理论解决。尽管如此，Savage和Visontai并不能应用这个理论证明D型仿射欧拉多项式的实根问题。
　　本文在深入研究s-欧拉多项式理论的基础上，进一步证明了Brenti提出的D型q-欧拉多项式实根性猜想，Dilks、Petersen和Stembridge提出的D型仿射欧拉多项式实根性猜想，以及Br(a)ndén给出的(n-2)次堆栈可排欧拉多项式实根性。此外，本文还利用Hermite–Biehler定理肯定了Hyatt提出的半欧拉多项式零点的交错性猜想，并给出了D型欧拉多项式实根性的新证明。本文的结构如下：
　　第1章简要介绍了本文的研究背景，特别是关于D型欧拉多项式和仿射欧拉多项式实根性的研究背景和现有进展。
　　第2章介绍了本文所用的基本工具，包括实根性理论中的一些基本概念和重要结果，Savage和Visontai关于保持实根性变换的一般定理，以及Hurwitz稳定性理论中的一些基本结论。
　　第3章给出了Brenti提出的D型q-欧拉多项式实根性猜想的证明。我们得到一个D型q-欧拉多项式的细化，然后证明这些细化的多项式满足某种递推关系。运用Routh–Hurwitz理论及递推关系，我们证明了当q>0时这些多项式组成了一个相互交错的序列，从而证明了Brenti的猜想。当q=1时，我们的结果简化为D型欧拉多项式的实根性。
　　第4章解决了Dilks、Petersen和Stembridge提出的仿射欧拉多项式实根性猜想。我们在Savage和Visontai的D型欧拉多项式细化的基础上，引入了一族新的多项式。我们证明这些新的多项式具有同Savage和Visontai的细化欧拉多项式一致的递推关系，从而得到了D型仿射欧拉多项式的实根性。结合其他类型仿射欧拉多项式实根性的结果，我们完全证明了任意不可约有限Weyl群上的仿射欧拉多项式有且仅有实根。
　　第5章给出了D型欧拉多项式和B型仿射欧拉多项式实根性的新证明,并肯定了Hyatt关于半欧拉多项式零点的交错性猜想。我们的方法是基于复分析中的Hermite–Biehler定理，其中的关键在于利用了Borcea和Br(a)ndén保持弱Hurwitz稳定性的线性算子的刻画定理。
　　第6章是s-欧拉多项式的理论在对称群上的一个应用。Bóna猜想(n-2)次堆栈可排欧拉多项式仅有实根。Br(a)ndén证明了一个更一般的结果。在这一章，我们应用s-欧拉多项式的理论对Br(a)ndén的结果给出了一个新的证明。

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Chapter 1 Introduction

1.1 Real-rooted Polynomials

1.2 Euelrian Polynomials for Finite Coxeter Groups

1.3 Affine Euelrian Polynomials

1.4 Overview of this Thesis

Chapter 2 Criteria for Real-rootedness and Stability

2.1 Real-rootedness and Mutual Interlacing

2.2 Hurwitz Stability

2.3 Borchardt–Hermite Criterion

Chapter 3 Real-rootedness Conjecture on q-Eulerian Polynomials

3.1 Real-rootedness of Eulerian Polynomials of Type D

3.2 Proof of Real-rootedness Conjecture on q-Eulerian Polynomials

Chapter 4 Real-rootedness Conjecture on Affine Eulerian Polynomials

4.1 Proof of Real-rootedness Conjecture on Affine Eulerian Polynomials

4.2 Identities concerning Affine Eulerian Polynomials

Chapter 5 Real-rootedness of Eulerian Polynomials Revisited

5.1 Introduction

5.2 A New Proof of Dn(x)≤(B)n(x)

5.3 Proof of Hyatt’s Conjectures

5.4 A Stability Conjecture

Chapter 6 Descent Polynomials of Stack Sortable Permutations

6.1 Introduction

6.2 Proof of the Main Result

6.3 A Real-rootedness Conjecture

Appendix Hurwitz Determinants on q-Eulerian Polynomials

参考文献

致谢

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