一类2m阶双曲型方程的Cauchy问题

摘要

本文研究一类非线性2m(m≥2)阶双曲型方程的Cauchy问题：[utt+(-1)mΔmu+u=F(u)。不仅得到了齐次线性方程解的衰减估计以及解的时本文首先采用Marshall，Strauss及Wainger[20]在证明kleinGordon方程以及S.P.Levandosky[1]在证明四阶波动方程所采用的思想来证明齐次线性方程解的Lp-Lq估计。先建立一簇解析算子的估计再利用复内插算子定理。得到了当初值，u0∈Wm+s,p′(Rn)u1∈Ws,p′(Rn)时，其线性方程的解属于Ws,p(Rn)，并且其范数在者个空间中有衰减‖u(t，·)‖Ws,p(Rn)≤C(1+t)n/mp-n/2m(‖u0‖Ws+m,p'(Rn)+‖u1‖Ws,p′(Rn)其中2≤p≤2*计相似。得到了当初值(u0，u1)∈Z≡H(l+1)m(Rn)⊕Hml(Rn)时，其齐次线性方程的解属于Wl,mlp(Rn+1)其中P满足2+4m/n≤P＜Pn={2(n+m)/n-2m(n＞2m)。∞(1≤n≤2m)然后应用Galerkin方法，证明了非齐次线性方程弱解正规性及存在惟一性。 本文最后应用Banach压缩映象原理，并利用前面结果，证明了非齐次线性方程解古典整体解的存在惟一性。得到了当非线性函数F满足F((^)λ)=O(|(^)λ|1+a)并且空间维数n满足以下的条件n＞2m(a+1)/a2，在小初值的情况下非齐次线性方程解古典整体解的存在且惟一。

目录

文摘

英文文摘

第一章绪论

第二章齐次线性方程解的衰减估计

2.1引言

2.2几个有用的引理

2.3齐次线性方程的Cauchy问题解的衰减估计

第三章n维齐次双曲型方程解的时空估计

3.1引言

3.2算子的LP-LP'估计

3.3解的时空可积性估计

第四章非齐次方程解的存在性与正规性

第五章非线性双曲型方程的Cauchy问题

5.1引言

5.2度量空间Xs0,s,E

5.3 Cauchy问题(5.1)-(5.2)的整体经典解的存在唯一性

参考文献

致谢

攻读硕士学位期间发表的论文