函数变换法求经典Fisher方程的显示解

摘要

本文主要在孤立子理论及李群变换的指导下，运用当前求解非线性发展偏微分方程(组)的普遍方法——函数变换法的一些具体方法，配合计算软件Mathematica的运算功能，求得了经典Fisher方程的一些新的显示解。 文章共分三章。第一章是显示解研究的背景和方向介绍，包括孤立子理论、李群变换、计算机的辅助作用、显示解的类型和研究方法分类。第二章着重介绍作者研究所用到的一些函数变换法如齐次平衡法、推广的tanh函数法、复tanh函数展开法、广义幂-指函数法等，和Fisher类方程已有的一些研究成果特别是显示解的一些结果。第三章对非线性发展偏微分方程里经典Fisher方程的一个最常见形式(e)u/(e)t-γ(e)2u/(e)x2-βu(1-u)=0，(0-1)分别用函数变换法里推广的tanh函数法及其拓展、复tanh函数展开法、广义幂-指函数法结合现代数学计算软件Mathematica得到了所期望的它的一些显示解。 在第三章里，首先我们tanh函数法的原则下，选用Riccati方程的简单形式v'=b+v2，(0-2)进行“扰动”，推广了以前的tanh函数法，也获得了方程(0-1)的形式复杂的tanh函数显示解。接着我们再次调整扰动的Riccati方程为vξ=k(1-v2)，(0-3)同时让方程(0-1)的形式解为更复杂的u=a0+a1v+b0(d(1-v2))1/2+b1v(d(1-v2))1/2.(0-4) 从而再一次拓展了前面的推广的tanh函数法，获得了复线性显示解。运用最近提出的复tanh函数展开法，我们还获得了方程(0-1)的复tanh函数形式的显示解；受其启发我们令方程(0-1)解分别为为实tanh函数形式、复tan函数形式、实tan函数形式u2=A+Btanh(η)，(0-5)u3=A+Btan(iη)，(0-6)u4=A+Btan(η)，(0-7)不仅获得了对称形式的显示解，还推广了复tanh函数展开法。最后我们采用广义幂-指函数法寻找到了方程(0-1)更为一般的幂-指函数形式u=B+∑3i=oaiyi/(1+y2),y=eA(ξ+ξ0)(0-8)的显示解。

目录

文摘

英文文摘

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第一章非线性发展偏微分方程(组)显示解的类型和求法

第二章函数变换法及Fisher方程的研究状况

第三章一些函数变换法在经典Fisher方程中的运用

参考文献

攻读硕士学位期间的研究成果

致谢