考虑个体尺度差异的捕食种群模型的定性与定量分析

摘要

生物数学是生物学与数学之间的交叉学科,它以数学方法研究和解决生物学问题,并对与生物学有关的数学问题进行理论研究。种群是生物学研究的重要单元,它是指由同一物种个体所组成的、占有一定空间的、具有潜在繁殖能力和独立特征、结构和功能的整体,是物种在自然界存在的基本单位。为了维护生态平衡、保护生物多样性以及合理利用可再生生物资源,需要深入研究生物种群的演变规律。为此,国内外学者们建立了大量的数学模型。模型解的变化规律,预示了种群的演化趋势。基于个体尺度的种群数学建模是一种重要方法。所谓尺度表示与种群个体有关的某个连续指标,例如重量、长度、直径、体积、成熟度,或者显示种群个体生理或统计特征的其它数量指标。在生物的相互作用中,一种生物以另一种生物为食的现象,称为捕食。食饵与捕食者的关系是两个生物种群的相互作用中较普遍的关系,食饵与捕食种群之间的相互作用对相关种群演化具有重要影响。
　　 本文首先建立了一个基于尺度分布的食饵.捕食者模型,它是一个偏微分.积分方程组的初边值问题。之后较为系统地研究了模型非负解的存在唯一性、模型的形式解、平衡态的存在性及局部稳定性,并给出相应的数值模拟。综合应用微分方程、泛函分析等工具,得到一些理论成果,为模型的实际应用提供了必需的理论依据。
　　 全文的研究内容由两部分组成:第二章构成第一部分,第三章构成第二部分。本文的主要工作如下:
　　 第二章研究具有尺度结构捕食种群模型的适定性,主要是分析模型解的存在性、唯一性非负性、有界性。首先针对原始模型中两个尺度变量给研究工作带来的不便性,做出了捕食者的尺度大于等于食饵的尺度的生物学假设,同时对相关参数进行处理,得到了尺度变量统一的模型;应用线性比较原理证明了系统解的有界性;其次对模型进行离散化,应用差分逼近方法证明了系统非负解的存在性、唯一性。第三章研究具有尺度结构捕食种群模型的形式解、平衡态的存在性和局部稳定性,并给出相应的数值模拟。首先利用特征线方法导出了该模型的形式解;进而分析了该模型三类平衡态的存在性和局部稳定性;最后给出实例,并运用C＃和Excel等工具对该模型平衡态的局部稳定性做了数值模拟,直观显示了稳定性结论。