自旋量子系统的可控性分析及李代数计算

摘要

可控性理论同是经典和量子控制系统中研究的一个基本问题。本文基于量子系统Hamiltonian算符的多重李括号计算研究了单自旋1/2及多自旋1/2量子系统的可控性。利用李代数的Cartan分解方法构造su(N)空间的矩阵基，同时结合图矩阵p不可约的性质，通过Hamiltonian算符张成的李代数空间的等价性条件来研究自旋量子系统的可控性问题。本文研究的主要结果由以下四部分组成:
　　 第一部分:利用李群、李代数理论分别讨论了su(2)及su(2n)空间的基表征及其李括号的运算方法;并分别给出了基于对易李括号和反对易李括号计算的多算符单重李括号的运算法则、带结构常数的算符单重李括号运算方法及多重李括号运算的一般性结果。
　　 第二部分:基于李代数su(2n)与量子系统可控的等价性条件，通过计算单自旋1/2量子系统Hamiltonian算符张成的李代数空间的基系数，得到了与基系数矩阵相关的系统可控的充要条件。此外，参照单输入控制系统的可控性分析方法，进一步给出了多输入控制系统的可控性判据及量子系统不可控性的判定方法。
　　 第三部分:通过Cartan分解方法构造出李代数su(22)空间的矩阵基。同时，根据空间等价的可控性定理提出了双自旋1/2量子系统Hamiltonian算符多重李括号的计算方法及相应的系统可控性判据。同理，也得到了多自旋量子系统Hamiltonian算符的矩阵基表示及相应的多重李括号计算方法，并给出了相应的可控性判据。最后，通过数值例子说明本部分提出的可控性判据的计算过程。
　　 第四部分:研究了李代数su(N)的根空间分解及量子系统的Hamiltonian算符矩阵的连通关系图，将量子系统的可控性条件等价地转化为图矩阵的连通性问题。根据图矩阵p不可约性质及su(N)根空间分解方法，提出了量子系统基于内部和外部Hamiltonian算符的可控性充要条件。

目录

声明

摘要

第1章 绪论

1．1 量子控制的发展及研究现状

1．2 量子系统的可控性研究现状及理论基础

1．2．1 量子系统的可控性发展及研究现状

1．2．2 自旋量子系统的研究现状

1．2．3 量子系统可控性的理论基础

1．3 本文拟解决的主要问题

第2章 量子系统的李代数基础

2．1 引言

2．2 李群和李代数

2．2．1 李群、李代数的基本概念

2．2．2 矩阵李群及其李代数

2．2．3 李代数su(2)

2．2．4 李代数的Cartan分解

2．3 李括号运算的主要结果

2．3．1 多算符单重李括号运算

2．3．2 带结构常数的算符单重李括号运算

2．3．3 多重李括号运算的一般性结果

2．4 小结

第3章 单自旋1／2量子系统的可控性

3．1 基于李代数su(2)的单自旋1／2量子系统可控的基本定理

3．1．1 单自旋1／2量子系统的可控性描述

3．1．2 基系数表示及相关的运算结果

3．2 与基系数相关的单自旋1／2量子系统可控性判据

3．2．1 单自旋1／2量子单输入控制系统的可控性

3．2．2 单自旋1／2量子多输入控制系统的可控性

3．2．3 单自旋1／2量子系统的不可控性判据概述

3．3 数值实例

3．4 小结

第4章 多自旋1／2量子系统的可控性

4．1 双自旋1／2量子系统的可控性

4．1．1 双自旋1／2量子系统的基表示及李括号运算

4．1．2 无限维矩阵的定义

4．1．3 双自旋1／2量子系统的可控性定理

4．2 多自旋1／2量子系统的可控性

4．3 数值实例

4．4 小结

第5章 基于李代数根空间分解及图论方法的量子系统可控性

5．1 引言

5．2 su(N)的根空间分解

5．2．1 李代数AN-1及其交换子代数η

5．2．2 交换子代数η的李括号运算及其分解

5．2．3 su(N)的根空间分解

5．2．4 su(N)空间的等价性条件

5．3 图论连通性的量子系统可控性

5．3．1 图矩阵的连通性

5．3．2 基于图论连通性定理的量子系统可控性

5．4 数值例子

5．5 小结

第6章 总结和展望

6．1 总结

6．2 展望

致谢

参考文献

附录