Jacobi形式空间的维数公式

摘要

自守形式理论是数学中最富饶的领域之一．一个多世纪以来，它成为数论，分析，表示论和代数几何等众多数学分支的交叉地，是很多深刻猜想的源泉．在过去的十多年中，这个领域有了巨大的进展，一个重要的成果体现在1994年英国数学家怀尔斯完全解决困惑数学家三百多年的费马大定理的．作为自守形式的一种推广，Jacobi形式是定义在HL×C(l，n)上满足一些变换律的全纯函数．Jacobi形式可以说是模形式和θ-函数的结合体，因而它具有许多很好的算术性质．这类函数有很经典原型，如Jacobiθ-级数，Siegel模形式的傅立叶展开项的系数．Jacobi形式理论由M．Eichler和D．Zagier系统地创立于1985年，在过去的二十年中，该理论取得长足发展并得到广泛应用．本文中，作者讨论两个问题，一个是θ-级数在Siegel模群下的变换律，另一个是Jacobi形式空间的维数公式．对于第一个问题，作者首先考察了θ-级数θs,a(T，z)的性质，并在θ-级数空间Ts(T)上定义线性算子Us(ξ)．根据Siegel模群的一个分类，作者得到θ-级数在不同情形下作用的具体的变换公式．(公式略)作为推论，并求得的该算子的迹．线性算子的迹在后面计算Jacobi形式空间的维数公式时会被用到．对于第二个问题，作者对于Jacobi尖点形式构造出核函数Ｋ(w，w')，然后得到维数公式的表达式：(公式略)最后作者利用Selberg迹公式的方法考虑计算每个共轭类对维数公式的贡献．当n=2时，对于主同余子群r2(2m)，得到了具体的维数公式，结果如下：(公式略)当n=3时，对于主同余子群r3(2m)，也得到了具体的维数公式，结果如下：(公式略)关键词：Jaeobi形式，theta级数，变换律，维数公式．

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英文文摘

论文说明：Notations

声明

Chapter 1 Introduction

Chapter 2 Jacobi Forms

2.1 A historical survey on Jacobi forms

2.2 Jacobi groups

2.3 Jacobi forms

2.4 Siegel modular forms

2.5 Siegel modular forms and Jacobi forms

Chapter 3 The transformation formula for theta series

3.1 Theta series

3.2 Linear operator

3.3 The explicit formulas for the transformation laws

Chapter 4 Kernel function

Chapter 5 The Dimension formula

Chapter 6 Dimension formula for Jacobi forms of degree two

6.1 A classification of conjugacy classes of degree two

6.2 The Selberg trace formula

6.3 An explicit dimension formula

Chapter 7 Dimension formula for Jacobi forms of degree three

7.1 Conjugacy classes of the Γ3(N)

7.2 The Selberg trace formula

7.3 An explicit the dimension formula

致谢

参考文献

个人简历在读期间发表的学术论文与研究成果