一类滞时微分方程的Hopf分歧及结合多重打靶法的拟弧长延拓方法

摘要

随着科学技术的迅速发展，非线性问题大量出现在自然科学、工程技术乃至社会科学的许多领域中，成为当前科学研究的焦点。分歧是一种常见的非线性现象，在非线性科学的研究中占有重要地位。本文主要研究一类含参数的滞时微分方程的Hopf分歧分析，及其周期解的计算方法。义章从分歧分析的角度来考虑周期解问题，证实了用Liapunov-Schmidt约化方法求解滞时微分方程周期解的有效性与可行性，发现这样的理论分析结果与相应的数值结果吻合。 我们在本文中做了如下T作： 首先，我们在一类滞时微分系统巾引入Liapunov-Schmidtfj化方法，得到单参数滞时微分方程的Hopf分歧方程及Hopf分歧点附近的解析周期解。我们详细分析了这类滞时微分方程，利用Liapunov-Schmidt约化方法经过复杂的推导得出了它在Hopf分歧点附近分歧方程的近似解析表达式以及周期解的近似解析表达式。 其次，我们研究了求解一类滞时微分系统周期解的配点法(拟谱方法)，利用分段i次Hermite多项式逼近周期解，将滞时微分系统离散化后得到一个非线性方程组，使用Newton迭代法求解。为了解决Newton迭代法的初始值选取问题，我们利用前一部分Hopf分歧分析的结论，很好地解决了Hopf分歧点附近计算周期解的初始值选取问题。同时将数值例子的计算结果与前一部分得到的近似解析周期解比较发现，两者误差很小。并且我们进一步利用延拓的方法求得了周期解枝上其它参数值处的周期解，即使遇到诸如折叠点、分歧点这样的奇异点该方法也能顺利通过。该方法与利用Lagrange插值的方法比较，它同样适合微分方程模型，算法简单并且同样有很好的收敛性。 最后，我们考虑含单参数的常微分方程两点边值问题。通常我们先用局部延拓方法跟踪求出正则的解枝，当路径上遇到奇异点(特别是转折点)时，局部延拓方法不再有效，我们给出了结合多重打靶法的拟弧长延拓方法利具体步骤，从而顺利通过了奇异点(折叠点)。

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第一章绪论

§1.1研究背景

§1.2文献综述

§1.3我们研究的方法

§1.4本文主要内容和结构

第二章一类滞时微分方程的Hopf分歧分析

§2.1引言

§2.2方程的Liapunov-Schmidt约化过程

§2.2.1 p=1，q=4时的Hopf分歧分析

§2.2.2 p=2，q=4时的Hopf分歧分析

第三章滞时微分方程周期解配点法的数值结果

§3.1引言

§3.2分段Hermite多项式配点法

§3.2数值结果和理论分析结果的比较

第四章结合多重打靶法的拟弧长延拓方法

§4.1拟弧长延拓方泫

§4.2多重（并行）打靶法

§4.3拟弧长延拓方法结合多重打靶法

§4.4数值例子

参考文献

在学期间科研情况

致谢