一类多项式微分系统极限环的个数

摘要

在平面微分系统的定性理论中，研究系统极限环的个数和分布是主要问题之一．本文主要研究一类多项式微分系统极限环的个数．
　　 本文第一章简单的介绍了著名的Hilbern第16问题的后半部分及其研究现状和与本论文有关的一些基础知识(包括动力系统、极限环等)，以及本文的主要工作和内容组织．
　　 本文的研究工作主要由第二、三、四章这三章内容组成．研究的主要内容是下述可积系统(称为未扰系统)：
　　 (x)=—y(1+(x)4)，
　　 (y)=(x)(1+(x)4)，
　　 在几类多项式扰动之下极限环的个数．
　　 第二章，考虑未扰系统加上低次扰动后，从未扰系统的周期环处分支出极限环的个数．证明了未扰系统加上1次或者2次扰动项时，系统最多有1个极限环；加上3次或者4次扰动项时，系统最多有4个极限环．
　　 第三章，考虑未扰系统加上任意的n次扰动项时，主要研究扰动系统的一阶Melnikov函数M(h)的系数公式，通过对M(h)的根的个数估计，得到系统在原点处的Hopf环性数至少是3[n+1/2]—2．
　　 第四章，考虑未扰系统加上5次以上扰动项时，通过计算并简化扰动系统的M(h)，得到扰动系统在未扰系统的周期环处分支出至少3[n+1/2]—2个极限环．利用复分析的方法及幅角原理，得到极限环个数的一个上界是5[n+1/4]＋[n+1/2]—2．
　　 本文的创新在于，一是在研究方法上，通过对M(h)关于扰动项次数的根的个数的计算与归纳，分别找出极限环个数的下界与上界，并给出相应的证明；二是在文章的组织上，对于该类多项式微分系统，研究了在任意次的扰动下，系统的Hopf分支和全局分支．

目录

文摘

英文文摘

第一章 前言

1.1 动力系统

1.2 分支理论

1.3 主要工作和内容组织

第二章 低次扰动下该多项式微分系统极限环的个数

2.1 准备工作

2.2 主要结果

第三章 n次扰动下该多项式微分系统的Hopf色支

3.1 准备工作

3.2 主要结果

第四章 n≥5时该类多项式微分系统的全局分支

4.1 准备工作

4.2 主要结果

致谢

参考文献

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