非线性Volterra积分方程、时滞Volterra积分方程以及时滞Volterra泛函积分微分方程的多步谱配置方法

摘要

谱方法是求解微分方程的一种重要数值方法，已被广泛应用于科学和工程问题的数值模拟中，其主要优点是计算的高精度。另一方面，Volterra型积分方程、时滞积分方程以及泛函积分微分方程等都具有记忆性质，在物理、生物、激光以及人口增长等模型中得到广泛应用，相关的数值研究正日益受到重视，并已成为该领域的一个新热点。
　　现有的针对Volterra型积分、微分和时滞方程谱方法的研究主要基于单步格式，并不适合长时间的计算。此外，所研究的问题主要是线性的，而实际问题大多是非线性的。因此有必要研究非线性Volterra型方程的多步谱方法。
　　本文主要研究非线性Volterra积分方程、非线性消失时滞Volterra积分方程以及非线性消失时滞Volterra泛函积分微分方程的多步Legendre-Gauss谱配置方法。我们建立了相关问题的多步谱配置格式，并分析了格式的hp-型误差。数值结果表明，所提方法具有高精度，长时间计算稳定，且对于高振荡问题、局部大梯度问题以及非光滑解问题等十分有效。
　　本文由以下四个部分组成:
　　在第一章，我们简单地回顾了Volterra积分方程、时滞Volterra积分方程以及时滞Volterra泛函积分微分方程数值方法的研究进展。
　　在第二章，我们提出了非线性Volterra积分方程的多步Legendre-Gauss谱配置方法。我们也分析了多步谱配置方法的hp-型误差。数值结果表明了所提方法具有高精度，且长时间计算快速稳定。
　　在第三章，我们提出了非线性消失时滞Volterra积分方程的多步Legendre-Gauss谱配置方法。我们也进行了收敛性分析，得到了多步方法的hp-型误差估计。数值结果展示了该方法的高效性。
　　在第四章，我们提出了非线性消失时滞Volterra泛函积分微分方程的多步Legendre-Gauss谱配置方法。我们同样对多步方法进行了收敛性分析，并得到了相应的hp-型误差估计。数值例子验证了该算法是行之有效的。
　　需要指出的，所提算法结构简单、容易实现。

目录

声明

摘要

第一章 背景介绍

1．1 谱方法

1．2 Volterra积分方程

1．3 时滞Volterra积分方程

1．4 时滞Volterra泛函积分微分方程

1．5 本文的主要结果

1．6 本文的结构

第二章 非线性Volterra积分方程的多步Legendre-Gauss谱配置法

2．1 准备工作

2．2 多步谱配置算法

2．3 一些引理

2．4 误差分析

2．5 数值结果

2．5．1 线性问题

2．5．2 非线性问题

2．5．3 高振荡解问题

2．5．4 局部大梯度解问题

2．5．5 长时间计算

2．5．6 大步长计算

2．5．7 非光滑解问题

2．5．8 数值比较

第三章 非线性时滞Volterra积分方程的多步Legendre-Gauss谱配置法

3．1 准备工作

3．1．1 网格设计

3．1．2 区间In上的Legendre-Gauss插值

3．1．3 区间(~I)n上的Legendre-Gauss插值

3．2 多步谱配置算法

3．3 误差分析

3．4 数值结果

3．4．1 线性问题

3．4．2 非线性问题

3．4．3 高振荡解问题

3．4．4 局部大梯度解问题

3．4．5 非光滑解问题

3．4．6 数值比较

第四章 非线性时滞Volterra泛函积分微分方程的多步Legendre-Gauss谱配置法

4．1 准备工作

4．2 多步谱配置算法

4．3 误差分析

4．4 数值结果

4．4．1 线性问题

4．4．2 非线性问题

4．4．3 长时间计算

4．4．4 高振荡解问题

4．4．5 局部大梯度解问题

4．4．6 非光滑解问题

4．4．7 数值比较

参考文献

在读期间的研究成果及发表的论文

致谢