高阶对角隐式辛Runge-Kutta方法研究及应用

摘要

Hamilton系统在物理和生命科学等领域，特别是经典力学和天体力学等领域有着广泛的应用.过去的数十年中，国内外诸多学者研究了系统本身特性，并根据这些特性构造数值方法.这其中，美国科学家Ruth和我国科学家冯康分别于1983年和1985年针对Hamilton系统独立提出了行之有效的数值方法，冯康先生称之为辛几何算法，之后辛算法被广泛研究，并取得了丰硕的研究成果.
　　本文主要研究一类对角隐式辛Runge-Kutta方法高阶数值格式的构造及其应用.通过该类型数值格式本身性质和根树理论的研究，我们获得了5阶和对称6阶对角隐式辛Runge-Kutta方法的独立的阶条件，在此基础上，我们构造了求解极值问题的模型，并通过设计程序求解极值问题给出了一组6级5阶的对角隐式辛Runge-Kutta数值格式.对称的数值格式在长时间计算中有着天然的优势，结合6阶对角隐式对称辛Runge-Kutta方法的阶条件，同样通过设计程序求解极值问题，我们给出了一个7级6阶对称的对角隐式辛Runge-Kutta数值格式.在数值试验中，我们比较了新得到的数值格式和文献中已有的同阶的数值格式在计算精度和计算效率方面的差别，结果显示，我们给出的数值格式有着计算精度高且计算量少的优点.另外，通过数值试验，新的数值格式的收敛阶也得到了验证.在对角隐式辛Runge-Kutta方法的可达阶方面，我们分别研究了一般的对角隐式辛Runge-Kutta方法和对称的对角隐式辛Runge-Kutta方法的级数和阶之间的关系，限于已完成的工作，所讨论的数值格式的最高阶为6阶.
　　在对角隐式辛Runge-Kutta方法的数值稳定性方面，针对不同的试验性方程，我们研究了对角隐式辛Runge-Kutta方法的A-稳定性和P-稳定性，证明了当收敛阶p≤2时，该类型的数值格式是A-稳定的，而当收敛阶p≥3时，该类型的数值格式不是A-稳定的;在P-稳定性方面，所有该类型的数值格式都是P-稳定的.
　　文章的最后研究了对角隐式辛Runge-Kutta方法的应用，针对振荡Hamilton系统，我们给出了一个高收敛阶，高弥散误差阶且零耗散误差的数值格式，通过数值试验，给出的数值格式和文献中已有的数值格式相比，具有精度高的优势.

目录

声明

摘要

第一章 绪论

第二章 基础知识

2．1 Hamilton系统与辛几何算法

2．2 Runge-Kutta方法

2．2．1 根树、基本微分和基本权

2．2．2 Runge-Kutta方法的阶条件及化简

2．3 辛Runge-Kutta方法

第三章 高阶对角隐式Runge-Kutta方法

3．1 对角隐式Runge-Kutta方法简介

3．2 5阶对角隐式辛Runge-Kutta方法

3．2．1 阶条件化简

3．2．2 5阶方法构造

3．2．3 数值试验

3．3 6阶对角隐式对称辛Runge-Kutta方法

3．3．1 对称方法简介及阶条件化简

3．3．2 6阶方法的构造

3．3．3 数值实验

3．4 对角隐式辛Runge-Kutta方法的可达阶

3．4．1 对角隐式辛Runge-Kutta方法的可达阶

3．4．2 对角隐式对称辛Runge-Kutta方法的可达阶

第四章 对角隐式辛Runge-Kutta方法稳定性分析

4．1 对角隐式辛Runge-Kutta方法的A-稳定性

4．2 对角隐式辛Runge-Kutta方法的P-稳定性

第五章 对角隐式辛Runge-Kutta方法的应用

5．1 高相误差阶对角隐式辛Runge-Kutta方法构造

5．2 相误差比较

5．3 数值试验

参考文献

致谢

攻读博士学位期间的研究成果