具有任意随机输入偏微分方程的加权压缩抽样算法研究

摘要

概率框架下不确定性量化(UQ)的数学模型通常为具有随机输入的偏微分方程.随机输入维度高以及随机输入参数分布信息的未知性是UQ计算中的难点.因此，本文研究具有任意随机输入的PDE的一种基于平衡态测度的加权压缩采样方法，渴望为UQ问题提供快速高效算法. 我们首先利用随机输入的矩信息通过文章[Ahlfeld et al.(2016)，[2]]中的矩匹配方法构造任意多项式基函数.之后，我们不同于之前的稀疏格点随机配置方法，提出了一种加权l1范数最小化方法获得解的展开式系数，并进一步计算解的统计量信息.我们提出了基于平衡态测度的抽样方法.该抽样方法不依赖于系统的随机输入，适用于随机输入有界域和无界域情形.基于压缩抽样的随机配置方法所需样本点数量远小于多项式空间基底个数，有效降低了计算量.在数值实验部分，我们首先通过函数稀疏逼近说明了基于平衡态测度的压缩抽样方法的有效性.数值计算结果表明，对低维随机输入情形，基于平衡态测度的抽样方法收敛速度优于蒙特卡洛(MC)抽样.但是，对某些高维随机输入情形，平衡态测度抽样当样本点数足够多时才优于MC抽样.最后我们将本文方法用于具有随机输入的弹性薄板弯曲问题.我们考虑板的杨氏模量为二阶随机场，对于采样点上的确定性薄板弯曲问题我们利用Morley非协调有限元求解.数值实验结果表明了基于平衡态测度的压缩抽样算法的有效性和可行性.

目录

摘要

1．1研究背景

1．2本文的主要研究成果

1．3本文的主要内容

第2章数学模型与基于gPC的压缩采样方法

2．1模型问题

2．2蒙特卡洛方法

2．3基于gPC的压缩抽样

第3章基于矩匹配的多项式逼近

3．1 多项式空间构造-矩匹配方法

3．2一些逼近理论讨论

第4章基于平衡态测度的加权压缩抽样算法

4．1加权压缩抽样算法

4．2基于平衡态测度的抽样方法

4．3数值实验

第5章应用

5．1 随机薄板弯曲问题数学模型

5．2随机输入表示

5．3确定性板弯曲求解器

5．4数值模拟结果

第6章结论与展望

参考文献

致谢

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