曲线拟合问题的正则化新算法设计、理论分析及应用

摘要

本文给出了用正则化方法拟合曲线的三种新方法，它们有原来算法的优点，但又都克服了原来算法在端点拟合效果差这个缺点，理论分析说明了新方法的有效性和合理性。数值实验进一步表明，新方法和原方法相比计算结果有改进，尤其对于小样本问题效果更为明显。其中第一种方法是通过强制要求在位于左、右两端子区间的拟合函数比内部子区间的拟合函数降一次的多项式来避免自然边界条件；第二种方法是通过巧妙构造一个修正目标泛函而自动得到理想的结果；第三种方法则要求在端点处提供更多的信息（已知函数值和一阶导数值）。我们也将第三种方法应用稳态问题热流量的计算，取得了良好的效果。除此之外，本文得到了已知节点处函数近似值和其导函数近似值，求解其二阶导数近似值的数值微商算法，并将其用于经典梁弯矩的计算。新方法比传统的混合元法更为方便，比常规的用差分格式求二阶导数值算法更为准确。相信本文的研究成果无论从理论分析还是从实际应用角度看，都有其创新性和价值，相应算法有必要放入MATLAB工具箱Spline-Toolbox中而作为普适算法使用。