求非线性系统对称群的两种新方法

摘要

近些年来，非线性科学得到了深入的研究并广泛应用到了生物学、化学、数学、通讯、经济学等学科。在物理学中的应用则更为广泛，如凝聚态物理、场论、低温物理、流体力学、等离子物理、光学等等，其中出现了大量的非线性系统。这使得人们不得不考虑如何求解描述非线性系统的非线性偏微分方程，探讨非线性系统的解所具有的特性，以及各相关方面。在过去，人们已经建立和发展了各种各样的求解非线性系统的方法，如对可积的非线性系统，有反散射方法(它是傅立叶变换法在非线性系统中的推广)、分离变量法(Lax对的非线性化方法(即对称约束法或形式分离变量法))、泛函分离变量法和导数相关泛函分离变量法等。而对于求解非线性系统的约化和约化解，存在着两大方法：CK直接法和经典、非经典李群法。前者是从代数的角度来求解非线性偏微分方程的，而后者的求解是基于群论的。在非线性系统的对称性约化研究中传统的看法已相当完善，一些标准类型的约化已被穷尽，为此我们必须给出一些寻求对称性的新思路。对于CK直接法，传统的做法是在某种约束下使得原单个系统从高维(例如从2+1维)约化到单个低维相似约化方程(例如1+1维或者直接约化到常微)。 对称性研究是自然科学中的最基本方法之一。在可积模型的研究中，由于无穷多对称和守恒律的存在，对称性研究就更为重要。通过许多数学家和物理学家的努力，在连续可积模型中建立了许多强有力的方法。如在1+1维可积系统中的递推算子法和高维系统中的形式级数对称方法。在1+1维的离散可积系统中人们同样发现了可用递推算子法而且同样有效。 对于给定的非线性偏微分方程(PDE)，传统的对称群研究方法通常是局限于寻找李点对称群。在标准的李群理论中，研究无穷小形式就足够了。通过解相应的常微分方程(ODE)组的初值问题就可以唯一地求得对应的Lie群及Lie代数。然而，这对于PDE来说还是不够的。还有不少的问题有待研究，比如说：(1)即使得到了李代数，相应的求解初值问题来得到有限变换即对称群还是一件十分困难的事。(2)在很多情况下，即使能得到初值问题的解，其显式表达式仍然是繁琐异常的，在实际当中很难得到应用。(3)一般的对称群根本就不是所谓的Lie群，而是更为一般的连续群。显然，这样就使得这些非线性系统的求解难上加难。可喜的是，如果我们只是寻找那些Lax可积模型的对称群的话，结果就完全不同。对于不可积系统，我们需要寻找不同的方法来研究对称群的问题。 在第一章简单回顾了非线性系统的求解方法后，在第二章，我们讨论了用Lax对的方法来求非线性系统的对称和代数结构。首先以典型的(2+1)维KP方程为例，回顾了用传统的方法求其对称和群的基本思路，得到的结果相当复杂。而后，我们从Lax对入手对KP方程进行了讨论，用比较简便的方法研究了KP方程的对称和代数。得到的结果包含了传统的结果，其中等价部分的表达式极其简洁。随后，把这种方法应用到了其它各种可积的(2+1)维非线性系统，得到相应的对称群定理。并且利用对称群定理得到了一些非线性系统的新的局域激发。 第三章里面主要讨论了一下CK直接法。传统的CK直接法做的是对高维系统的低维约化。我们在修正了CK直接法后，将CK直接法用到了对称群的求解，要求在有限变换后的新的变量也要满足与原来变量一样的方程。 实际上，CK直接对称约化法表明，可以不用任何群论，就可以得到一些非线性系统的所有对称性约化，这一结果间接地表明：要求出非线性系统的完全的对称群，可以不用任何群论的方法就可以得到。 本文的创新与特色是： 1、在思想上： 提出了Lax对应用及修正的CK直接法的新思路：传统的连续群的研究，通常是先研究李代数结构，然后通过李群第一定理来设法得到李群，然后结合离散群的研究而得到一般的连续群。然而，对于许多非线性系统，传统的方法往往很难解决，即便是能够解决的一些问题，结果也非常繁琐。新方法的基本思想是直接求对称群，然后再求李代数，这种新思路的引入，使我们发现非线性系统对称群的问题很容易解决，而且，结果非常简洁。 2、方法上： (1)、建立了利用Lax对求解非线性可积系统的对称群和对称代数的简便方法。对于Lax可积系统，可以证明这种方法可以很容易得到完全的连续对称群，但是这种方法依赖于Lax对的存在。 (2)、修正了CK直接法并运用到可积和不可积模型，对于高维也做了尝试。这种方法的优点在于，对于不管是可积模型还是不可积模型，都可以得到一个简洁的对称群。然而，这种方法只能对一些简单模型证明是可以得到完整的对称群的。 3、内容上： (1)、得到了包含传统结果在内的一般连续对称群：在得到一些非线性系统的李群的非常简洁的表达式的同时得到了离散对称群。(2)、得到了一些有意义的新的局域激发模式。

目录

文摘

英文文摘

论文说明：上海交通大学学位论文答辨决议书

上海交通大学学位论文原创性声明及学位论文版权使用授权书

第一章绪论

第二章Lax可积系统的对称群及严格解

2.1引言

2.2 Lax可积系统对称群及严格解

2.3其它Lax可积的非线性系统的对称群和严格解

2.3.1 sine-Gordon方程

2.3.2 DS方程

2.3.3 Camassa-Holm方程

2.3.4色散长波方程(DLW)

2.3.5 ANNV方程

2.3.6 NNV方程

2.4本章总结

第三章CK直接法的修正及它用

3.1引言

3.2在可积系统中的应用

3.2.1 KP方程

3.2.2 AKNS系统

3.2.3 sine-Gordon方程

3.2.4 Broer-Kaup方程

3.2.5 ANNV方程

3.2.6 NNV方程

3.2.7 MNNV方程

3.3修正的CK直接法在高维不可积系统中的应用

3.4本章总结

总结、讨论与展望

参考文献

致谢

在学期间的研究成果及发表的论文