W-型无限维非阶化李代数和李超代数的结构及相关问题

摘要

结构理论和表示理论是Lie代数理论中的两个主要课题.四类无限维Cartan型单Lie代数在Lie代数理论中起着重要作用。近年来出现了不少对Cartan型单Lie代数进行推广的文章。这些代数通常是阶化的(即L=()α∈ГLα，其中Г是某一Abel群，使得对于α，β∈Г，Lα是有限维的，且[Lα，Lβ]=Lα+β)。与顶点代数相连的Lie代数或由共形代数生成的Lie代数一般是非阶化非线性的Lie代数。我们知道，顶点算子代数是数学物理中共形场论和统计力学中至关重要的代数结构，决定这些代数的李代数结构一般是非阶化的。由共形代数生成的李代数一般也是非阶化的。从代数的角度看，量子场论就是由共形代数生成的李代数的表示。无限维非阶化李代数也很自然的出现在Hamilton算子理论中，并且在数学物理中起着重要的作用。目前有关非阶化李代数的研究正如火如荼，但尚未形成完整的理论体系，因此，对非阶化Lie代数结构进行进一步研究是一件有意义的事情。导子单结合代数是无限维非阶化李代数的基本组成部分，利用它可以构造及分类满足特定条件的非阶化李代数. 我们知道，李超代数是上个世纪由物理学家首先提出来的概念。V.G.Kac在上个世纪70年代中发表的一系列文章中，给出了典型李超代数的分类的同时，提出了一系列重要问题，它们是李超代数基本而又最重要的问题。如典型李超代数的有限维不可约模的分类，有限维模的完全可约性，不可约模的特征标公式，不可约模的分类等问题，但这些问题至今尚未得到完全彻底解决(除某些特殊的李超代数外)。而无限维李超代数的表示是一个更困难的问题。苏育才在这方面做了一些有益的尝试，如文献[48]。典型李超代数的上同调是Bott-Borel-Weil理论及李超代数的Kazhdan-Lusztig理论的重要内容。 在非阶化Lie代数的研究方面KawamotoN、OsbornJM.、DokovicD.Z、Passman、JordanDA、苏育才、赵开明、徐晓平等做了大量的工作.特别值得一提的是，徐晓平利用导子单结合代数及局部有限导子构造了广义Cartan型的四族代数(参见[9])。关于这方面的研究，正受到越来越多的人的关注。本论文共分四部分，第一部分是对由徐晓平定义的相联于导子局部有限的ContactLie代数的结构的进一步讨论。确定了它的导子代数和2-上同调群的结构。Kac在二十年前(见参考文献[12])提出的一个公开问题，后来由李旺来给出了肯定的回答(见参考文献[14])，苏育才把它推广到的广义Weyl型Lie代数w上(见[19])。第二部分，我们证明了它关于Lie代数w()gln(F)(称之为系数在矩阵代数的w无穷代数)也是正确的，其中，gln(F)是F上的n×n阶的矩阵代数。第三部分，我们确定了广义Weyl型Lie超代数2-上同调群。实际上是苏育才的结果(见[19])在Lie超代数上的推广。第四部分确定了广义Witt型Lie双代数的结构。

目录

文摘

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论文说明：上海交通大学学位论文答辩决议书

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第零章绪论

第一章相联于导子局部有限的Contact Lie代数

第二章广义Weyl-型Lie代数

第三章广义Weyl-型Lie超代数

第四章广义Witt-型Lie双代数

参考文献

附录一致谢

附录二作者读博士期间发表和录用论文情况