复杂网络的建模与其上的电势分布

摘要

近年来，复杂系统的研究正在逐渐打破各学科之间的壁垒，成为一门大范围跨学科的新兴领域，并受到了越来越多学者的关注。本文主要研究了现有网络模型上的一些动力学行为并提出了两个新的网络模型：随机有向图模型G（n，P,Q）和二步增长模型TSGN(m1，m2)。
　　 随机游动是随机过程理论的重要组成部分，而电网络则是研究随机游动的一个非常有效的工具。我们通过数值仿真发现了复杂网络模型上（例如ER模型，小世界模型，BA模型等）电网络电势的趋同性。特别的，我们证明了ER模型上的电网络在连接概率满足p= odnn，α>1时，电势近似等于一个常数，该常数仅与网络结点的度及连接电阻有关的，误差为O（1/inn）。我们可以利用该结果计算ER模型上任意两个结点问的击中时间，并由此证明在上述条件下，ER模型上任意两点间击中时间只与终点的度有关，而与起点的性质无太多联系。这一点我们也通过数值仿真进行了验证。
　　 G（n，P,Q）模型是ER模型和给定度模型G（w）的一个推广。首先我们将原有的无向图推广到了有向图的情形，其次我们让每个结点的权重独立同分布的取自某联合分布（P,Q）而不是一族给定的数。本文中我们主要研究了该模型的度分布。我们证明了当(P，Q)的边缘分布服从幂率分布时，该模型度分布渐近服从混合泊松分布，而该分布的尾部同样服从幂率分布。
　　 为了模拟现实生活中SNS社交网络的增长机制，我们提出了二步增长模型TSGN(m1，m2)。该模型同时满足小世界性和无标度性这两个社会网络中最重要的拓扑性质。我们利用平均场理论证明了当参数m1、m2取某些特殊值时模型的度分布服从不同参数的幂率分布，且幂率分布的参数随着比率m1/m2的增大而增大。我们还通过数值仿真发现该模型具有较大的聚集系数和较小的平均距离，在给定总连接数后，网络的平均距离和聚集系数都会随着比率m1/m2的增大而减小。