基于信号处理和多重网格的高效流体模拟

摘要

基于物理的流体模拟是计算机动画领域中一个重要而具挑战的研究课题,难点在于流体运动的计算非常复杂,现有的算法仍然无法应用到实时系统之中。在使用最为流行的基于网格的求解框架时,为了获得具有丰富细节的流体动画,动画师不得不使用高精度网格。然而,高精度网格上的流体方程求解耗时巨大,其中瓶颈在于“投影”步中泊松方程的求解。
　　在本文中,我们结合了信号处理中的技术以及多重网格的思想提出了一个创新的投影步求解框架。泊松方程的解对应流体的压强场,通过对压强场的频域分析,我们了解到压强场的高频成分通常影响着流体动画中的细节,而压强场的低频成分通常影响着流体动画的整体形态。实验发现,人眼对细节的要求高,数值精度对细节的影响大;而人眼对整体形态的要求相对偏低,数值精度对形态的影响较小。因此,本文将投影步拆分成了两个子步骤:“细节捕捉”和“形态修正”。
　　在“细节捕捉”步中,我们使用DST(Discrete Sine Transformation,离散正弦变换) Poisson Solver快速求解泊松方程。这种方法数值精度高,虽不能处理复杂的固体边界,却可以非常好地表达压强场的高频分量。随后,我们可以使用简单“边界修正”使得边界处的高频分量更加准确。
　　在“形态修正”步中,我们首先构造“修正方程”,随后将其映射到粗网格上求解,最后再映射回细网格进行速度修正。这样的做法类似于多重网格技术,其原理是粗网格可以有效地估计低频解。
　　本文提出的投影方法非常快速并且容易实现。大量实验表明本方法的速度大约是传统高精度PCG(Preconditioned Conjugate Gradient)求解方法的10-30倍,同时本方法可以获得与传统高精度模拟非常相似的效果。

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第一章 绪论

1.1 研究背景

1.2 国内外研究现状

1.3 本文的主要工作及创新点

1.4 本文的组织结构

第二章 流体模拟的基本框架

2.1 Navier-Stokes方程组

2.2 Navier-Stokes方程组的离散

2.3 基于网格的流体模拟技术

2.4 本章小结

第三章 多重网格及其在流体模拟中的应用

3.1 多重网格的原理

3.2 多重网格在流体模拟中的应用

3.3 本章小结

第四章 信号处理技术在流体模拟中的应用

4.1 傅里叶变换简介

4.2 使用傅里叶变换求解泊松方程

4.3 本章小结

第五章 基于信号处理和多重网格的高效投影技术

5.1 高效投影的思路与方法

5.2 细节捕捉技术

5.3 形态修正技术

5.4 边界修正技术

5.5 粗网格的选取和限制条件

5.6 本章小结

第六章 实验结果与结论

6.1 实验设计

6.2 实验结果

6.4 分析与讨论

6.5 本章小结

第七章 总结与展望

7.1 本文工作的总结

7.2 工作展望

参考文献

致谢

攻读硕士学位期间已发表或录用的论文