黎卡提多项式微分系统的达布多项式及其拓扑相图

摘要

给定一个微分系统,如何确定其轨线及其性态是动力系统的主要研究课题之一。当然如果能够求出微分系统的所有解,则其轨线的拓扑结构也就基本可以完全确定下来。到目前为止人们已经总结出许多求解微分方程和微分方程组的一般方法。但绝大多数微分系统是无法用初等积分法求解的,黎卡提微分方程或其等价微分系统便是其中之一,这已经在1841年被法国数学家刘维尔(Liouville)所证明。黎卡提方程在历史上和近代都有重要的应用,它曾用于证明贝塞尔方程的解不是初等函数[14],另外,它在流体力学和弹性震动理论等领域也有着广泛的应用。故至今黎卡提方程的解仍是非常重要的研究课题之一。本文主要考虑多项式黎卡提方程,即 a(x), b(x), c(x)都是多项式。在此之前,˙Zoladek在 a(x)=1和 b(x)=0的约束条件下得到了它的部分代数解。具体内容可参考文献[13],除此之外,Llibre又证明了黎卡提系统没有多项式首次积分,并对˙Zoladek的条件进行了扩充,即当c(x)=k(b(x)?ka(x))(k∈C)时,求出了系统的部分达布多项式,但对于该假设条件之外的问题并没有解决,具体细节可参考文献[1]。
　　本文主要针对该问题,对Llibre的条件进行扩充,即没有Llibre文中的假设条件下来研究二次黎卡提多项式微分系统并且得到了二次黎卡提多项式微分系统具有一次和二次达布多项式的充要条件。同时利用庞卡莱紧化和爆破技术我们给出了二次黎卡提微分系统的所有的拓扑相图。

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第一章 引言

§1.1 二次黎卡提多项式微分系统的达布多项式

§1.2 二次黎卡提多项式微分系统的相图

第二章 结论的证明

§2.1 定理 1.1, 1.2, 1.3 的证明

§2.2 定理1.4 的证明

§2.3 一些例子

第三章 展望

参考文献

致谢