该博士论文针对流体力学中的小粘性(大雷诺数）渐近极限问题，探讨了几类边界层问题的数学理论以及大雷诺数下流动的稳定性机制。主要研究了二维可压等熵流体边界层问题的适定性，三维高频旋转不可压流体边界层问题的稳定性，以及管道P o is e u ille流在大雷诺数下的稳定性。 在绪论中，我们简要介绍了流体力学小粘性极限问题的相关物理背景，回顾了已有的关于流体边界层和流动稳定性机制的数学理论。同时，阐述了本文研究的主要内容以及文章的结构安排。 首先，我们在第二章中考察了二维可压等熵流体当粘性系数趋于零时的渐近行为。利用多尺度分析的方法，通过密度和速度场关于小粘性的渐近展开，得到了边界层函数所满足的初边值问题。我们发现流体在远离边界的区域内部可近似于无粘的情形，在物理边界附近会出现边界层。当流体有来流且切向速度在边界层内部严格正向时，我们通过运用von M ises变换及上下界方法得到二维稳态可压P ra n d tl边值问题经典解的局部存在性。特别地，该解在外流密度满足单调性条件下是整体存在的。当流体切向速度在边界附近满足O leinik单调性条件时，通过引入Crocco变换我们将问题转化为讨论退化抛物方程的适定性。进而借鉴O le in ik的想法，得到稳态无来流和非稳态这两种情形的二维可压Prandtl边界层问题经典解的局部适定性。进一步，如果外流密度关于流向满足单调下降的条件，我们利用辛周平和张立群的想法证明了非稳态问题弱解的整体存在性。 其次，我们在第三章中研究当初值既不满足单调性条件也不是解析函数时可压边界层方程的适定性。特别地，我们考察了当切向速度的单调性条件在一条曲线附近退化且流场旋度呈现多项式衰减时，二维非稳态可压P ra n d tl方程组在G evrey类中解的适定性。在速度场满足单调性的区域和临界曲线附近，分别构造流体旋度关于切向偏导数的等阶能量泛函，并对其做相应的先验估计，进而通过构造迭代序列得到原问题解的局部适定性。 然后，在第四章中我们讨论了三维旋转不可压流体关于小粘性和短旋转周期的渐近极限。假设定解问题初边值和外力项满足一定的相容性条件，以避免产生速度场关于时间方向的高频振动。通过对流速关于小粘性和短周期的渐近展开，得到极限问题所满足的二维不可压带耗散Navier-Stokes方程，并得到流体在物理边界附近具有Ekman边界层。通过构造二阶逼近解，对误差项进行高阶能量估计得到其在一致范数意义下随着粘性及旋转周期趋于零时也收敛于零，从而验证了流场渐近展开式的合理性以及边界层的稳定性。 最后，在第五章中我们研究了大雷诺数下三维不可压流体关于管道中的Poiseuille流附近扰动的稳定性。在柱坐标下，通过引入Helmholtz-Leray投影算子并利用Fourier-Laplace变换，得到线性化问题流函数所满足的四阶常微分方程边值问题。通过构造此问题的基本解并利用边界条件所满足的色散关系，我们得到了线性化算子谱关于小粘性的渐近性态。进而，在初值是P o is e u ille流的小扰动的假设下，利用经典的半群理论得到了原问题解的整体存在性以及关于管道P o is e u ille流的非线性稳定性。
展开▼
