分母为数量多项式的多元矩阵Padé逼近及其在控制论中的应用

摘要

本文完善和推广了二元矩阵Padé逼近的理论和方法；建立了基于矩阵直接内积空间上的二元矩阵Padé型逼近，给出了它的行列式公式，并给出了递推算法以避免直接计算行列式；建立了基于形式正交多项式的二元矩阵张量积Padé型逼近及其递推公式；构造了二元矩阵Padé逼近，并给出了它的指标集的选择；给出了一种二元Newton型矩阵有理插值：本文还完善了用于求第二类Fredholm积分方程数值解的函数值Padé型逼近，并给出了另外的递推算法，使之具有了更高的数值精度．
　　 论文共分五章．
　　 第一章为绪论部分，主要介绍论文的研究背景、已有的研究成果及作者的主要工作．
　　 第二章主要介绍了一元矩阵Padé型逼近(MPTA)及其递推算法(qd-算法)．通过对原算法中的某些过程进行调整，我们给出了修正的qd-算法(MPTA的三项递推公式).
　　 在第三章，通过引入一种多项式空间上的二元矩阵线性泛函，作者定义了一般的二元矩阵Padé型逼近(BMPTA).这种逼近的分母多项式的系数是数量值的，可通过对矩阵作直接内积而得到.在生成多项式预先给定的情况下，给出了一个计算分子多项式的递推算法.利用Hankel-形系数矩阵，给出了一个BMPTA的行列表达式．另外，为了避免直接计算行列式，给出了两个有效的递推算法，讨论了指标集的选择，并且将BMPTA方法应用到了二维线性系统的部分实现问题.
　　 在第四章，作者定义了二元张量积形式正交多项式(BTPFOP)和二元矩阵张量积形式正交多项式(BMTPFOP)，并给出了计算它们系数的九项递推公式.在此基础上，作者定义了一种基于形式正交多项式的二元矩阵Padé型逼近(BMPTAVOP)，其分母多项式的系数可通过九项递推公式及一元矩阵Padé型逼近的三项递推公式算得.
　　 在第五章，作者构造了一种一般的二元矩阵Padé逼近(BMPA)，其分母多项式是数量值的．相较于第三章中的BMPTA指标集只能为矩形网格形式，此类逼近的指标集有多种选择，从而拓宽了它的适用范围.本章最后给出了BMPA在控制论中的应用．
　　 在第六章，作者建立了基于矩阵直接内积的二元Newton型矩阵有理插值(BNMRI),给出了其存在性判别方法及行列式公式．为避免直接计算行列式，给出了其递推算法．另外，为保证BNMRI关于两个变量的对偶性及逼近式计算的承袭性，讨论了指标集的选择．
　　 在第七章，我们讨论了用于求第二类Fredholm积分方程数值解的函数值Padé型逼近．任取方程的Neumann级数的系数与一个函数值方程组两边在L2空间上作内积，从而可得到一个数量方程组，然后给出了其行列式解．为避免直接计算行列式，给出了两个递推算法，它们不仅包含了大部分的已有方法，还克服了其中的一些不足之处．对一个典型积分方程的数值实验说明，这两个算法对于计算积分方程的特征值和特征函数都是相对简单和有效的.此外，对于那些有多个特征值的第二类Fredholm积分方程，所给算法同样适用，另外的一个数值例子说明了这一点．