完备Riemann流形上的Laplace算子及其相关问题

摘要

本文中,我们利用Moser迭代的技术分别对两类问题进行了讨论.在第三章,我们将给出具有小负曲率的流形上Laplace算子的第一特征值的下界估计;第四章,我们会给出一类完备非紧流形上非平凡的有界调和函数的存在性,推广了S.Y.Cheng的结果.

目录

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摘要

Abstract

第一章引言

§1.1 λ＞0—特征值问题

§1.2 λ=0—关于调和函数

§1.3关于Moser迭代

第二章准备知识

§2.1关于Riemann流形

§ 2.2关于椭圆偏微分方程

§ 2.3 Ascoli定理和Zorn引理

第三章小负曲率流形上Laplace算子第一特征值的下界

§ 3.1关于小负曲率流形的第一特征值

§ 3.2测地球上的Sobolev常数

§3.3结点(nodal)集和结点域

§3.4 Laplace算子的第一特征值和第一特征函数

§3.5第一特征值的下界

§ 3.6积分Ricci曲率

§3.7一类完备非紧流形上的Sobolev不等式

第四章流形上调和函数无穷远边界的Dirichlet问题

§4.1 Koebe-Poincare单值化定理

§4.2有界调和函数

§4.3无穷远边界和锥拓扑

§ 4.4调和函数和φ-调和函数

§4.5无穷远边界的Dirichlet问题

§4.6主要定理

§4.7共形因子φ的注记

参考文献

致谢