R代数及Vague集的相似度理论

摘要

长期以来，作为模推理的数学基础，模糊逻辑一直是人工智能界关注的热点.许多基于不同实际背景的模糊逻辑的形式演绎系统被提出，与之相对应的代数语义方面的研究也硕果累累，其中基于连续t-模的BL代数和基于左连续t-模的MTL代数的提出尤为引人注目.2003年裴道武教授证明了MTL代数的一个重要扩张一NM代数与R0代数等价，这就使得国内关于R0代数的众多研究成果和方法可以被移植到NM代数中去，进而丰富和完善MTL代数理论.有鉴于此，本文详细考察了R0代数的定义、性质、分类、存在性及其构造，通过对R0代数簇分类得到了L*系统的全部公理扩张，并证明了扩张系统的∑-完备性定理，为寻找和构建基于R0代数的应用模型作了必要的理论准备. 另一方面，随着模糊信息处理技术的发展，对不确定信息融合的要求也越来越高，Vague集理论因其对模糊信息较强的表达能力而逐渐受到重视，被广泛应用于人工智能的各个分支.在它的诸多应用中，两个Vague集间的相似性度量作为一项关键技术成为专家们关注的焦点.本文在对现有度量公式综合分析的基础上给出了Vague集相似度的规范定义，引入了反映距离与相似度本质联系的边界条件，提出了基于Hausdorff距离的相似度度量新方法. 全文共分三章：第一章较为系统地研究了R0代数定义的简化及结构分类.首先，通过对R0代数特征定理的详细分析，给出了R0代数目前为止一个最简定义，大大方便了R0代数的判定.其次，基于确定集(Validation集)和广义重言式理论，给出公式集F(S)基于R0算子的一个16类分划，并解决了该分划关于语义MP运算及语义HS运算的封闭性问题.接着，从R0代数的中点和真布尔元出发，得到了R0代数的一个完全分类，进而，通过引入R0代数根的概念清晰刻画了局部R0代数(也即不含真布尔元的R0代数)的结构.最后，研究了非全序R0代数的存在性及R0代数的构造方法，给出了局部R0代数的存在性判别定理.通过本章的工作，为弄清R0代数的结构，明确R0代数的分类，丰富R0代数的研究手段，增强L*系统的推理能力作了积极有效的探索. 第二章结合R0代数的完备性定理与系统L*的广义演绎定理，给出L*推理系统中的代数演绎定理，并以此为工具讨论了形式推理的数值化问题，有效地简化了推理步骤，降低了推理难度，并通过对一类特殊命题的考察说明了L*推理系统的局限性.通过研究了R0代数簇的分类，给出了L*系统的全部公理扩张并证明了扩张系统L*°，L*2n+1以及L*2n的∑-完备性定理及强完备性定理.本章还分析了原有的L*系统强完备性定理证明中的错误，给出了一个全新的证明.通过本章的工作，扩展了形式推理的应用范围，为实现基于L*系统及其扩展系统的自动定理证明提供了可能. 第三章基于对现有Vague集(值)之间相似度度量方法的分析，给出了基本相似度和强相似度的定义，通过对一例基于经典集间相似度的比较和分析，引入了能反映相似度与距离内在联系的边界条件，减少了相似度选取与构造的盲目性与随意性.文中最后基于Hausdorff距离给出了一种相似度度量新方法，并将该方法应用于离散论域及连续论域.得到了若干对应的加权相似度的计算公式.本章的工作为提出和解决基于Vague集的模式匹配和决策分析等问题作了理论上的准备，提出并考察了Vague集之间相似度的边界问题为吸收和利用Fuzzy集、Rough集理论的相关结果和思想提供了方便.

目录

文摘

英文文摘

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引言

第一章R0代数

§1.1基本概念及性质

§1.2Ro代数的简化定义

§1.3公式集F(S)的分划

§1.4Ro代数的结构

§1.5非全序Ro代数的存在性

第二章Ro代数与L*系统

第三章Vague集的相似度理论

总结

参考文献

致谢

攻读博士学位期间的研究成果