同宿环、异宿环分支问题及矩阵方程的振动性问题

摘要

本文主要研究反转系统中具有倾斜翻转和同时具有轨道翻转和倾斜翻转的异宿环分支问题,异维环分支问题,一般动力系统中的同宿风箱结构以及线性和超线性矩阵微分方程的振动性. 全文内容分为六章. 第一章主要介绍了本论文的研究背景,意义及主要工作. 众所周知,反转系统在量子力学,流体力学和光学等物理学分支中不仅有着广泛的应用背景,而且有着重要的理论价值.1998年,Champneys A.R.[20]提出一个问题：反转系统是否可以发生倾斜翻转?其分支情况与轨道翻转的情况下有何不同?受其启发,本文第二章主要采用文献[114,115]首先引入并经文献[50-52]等改进的方法(即在异宿轨道附近建立局部活动坐标系,构造新坐标系下的Poincaré映射,并导出分支方程的方法),首先对具有倾斜翻转的余维2异宿环分支进行了研究,然后对同时具有轨道翻转和倾斜翻转的余维3异宿环分支也进行了探讨. 由文献[64]可知,具有异维环的系统是很常见的,而且异维环的存在性往往隐含着动力学行为的极端复杂性.因此,研究异维环的分支问题也有着极其重要的物理意义和实际背景.本文第三章主要采用先前[114,115]引入的方法研究了四维空间中的异维环在满足非通有条件下-轨道翻转和倾斜翻转下的分支问题,给出了异维环保存及同宿环,周期轨存在的条件与分支曲面.值得一提的是,本文还得到了关于保存的异维环与分支出的周期轨共存以及一族周期轨道的存在性结果,从而揭示了具有倾斜翻转的异维环与无倾斜翻转的异宿环(异维环除外)在分支性态方面的差别.我们已经知道,后者即使在带有共振,对称或轨道翻转等退化情况下,也不会有保存的异宿环与分支出的周期轨道(或同宿轨道)共存的可能性. 近几年来,在许多物理模型中出现的一种称为风箱结构的现象引起了许多学者的注意.这种结构的基本特点就是：两条同宿轨道沿同一正方向跑出奇点和沿同一负方向进入奇点.著名的水波重力毛细作用的五阶KDV方程就可产生同宿风箱结构(homoclinic bellows configuration)[99].实际上,这种结构也经常产生于退化的同宿轨道[34,43,57],甚至在轨道翻转的情况下,同宿风箱结构也可产生于非退化的同宿轨道[81,88].值得一提的是,有些系统还可以产生异宿风箱结构[100].在HomburgA J和Knobloch J.[42,43]的启发下,本文第四章对一般动力系统中的同宿风箱结构进行了研究.采用[114,115]中的处理技巧,研究了风箱结构在小扰动下的动力学行为,得到了风箱结构的保存性条件,各种不同路径的同宿轨道和周期轨道的存在性,移位不变曲线族的存在性等结果,并且给出了相应的分支曲面和分支图. 与已有文献相比,本文所采用的研究分支问题的方法适用范围更广,而且所得的分支方程有较强的可计算性,可以得到更为精细的研究结果. 矩阵微分方程振动性理论是微分方程定性理论的重要分支之一,随着纯量微分方程的发展,许多学者已经致力于它的研究工作.在本文第五章中,我们借助于引入线性积分算子,正线性泛函和次齐次泛函,运用黎卡提技巧和积分平均技术对带阻尼项的线性矩阵微分方程的振动性进行了研究,获得了一系列Winter-型和Kamenev-型定理等新结果.另外,针对超线性矩阵微分方程,建立了新的Kamenev-型振动准则,所得结论改进了现有的一些结果.最后,给出例子来说明所得结果的有效性. 在第六章中,我们对今后的工作进行了展望,提出了期待解决的问题.

目录

文摘

英文文摘

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第一章引言

§1.1研究背景

§1.2主要工作

第二章 反转系统中的异宿环分支问题

§2.1反转系统中具有倾斜翻转的异宿环分支问题

§2.2反转系统中具有轨道翻转和倾斜翻转的异宿环分支问题

§2.3小结

第三章具有轨道翻转和倾斜翻转的异维环分支问题

§3.1具有轨道翻转和倾斜翻转的异维环分支问题

§3.2 小结

第四章 一般动力系统中的多重同宿环分支问题

§4.1一般动力系统中的多重同宿环分支问题

§4.2 小结

第五章 矩阵微分方程的振动性问题

§5.1一类二阶线性矩阵微分方程的振动性问题

§5.2一类二阶超线性矩阵微分方程的振动性问题

§5.3小结

第六章 今后工作的展望

参考文献

作者发表及完成的论文

致谢