基于粗细网格的有限元区域分解算法求解抛物方程

摘要

抛物方程是描述物理现象的一类重要方程，差分方法和有限元方法是求其数值解的两类主要数值解法。而不论哪种方法最终都归结为大规模方程组的计算。当维数很大、精度要求很高时，传统的求解方程组的方法面临着计算规模大、迭代次数多，导致耗费时间长。传统的单机计算已经很难解决计算规模越来越大与精度要求越来越高之间的矛盾。并行机的出现很好的解决了这一矛盾。并行计算随之发展起来，它是一种高效的计算形式，人们对它的研究也有了大量成果。
　　 在偏微分方程数值解中，区域分解是一类特别适合于并行计算的数值求解方法。它通过将求解区域划分为若干个子区域，从而把大规模的计算化为若干个小规模的计算，小规模计算之间存在独立性，可以通过并行计算同时求解，从而大大地缩短了计算时间。方法的难度在于子区域边界值的确定和数值解对真解合理的逼近.此外区域分解不仅具有可并行计算的优势，在有限元方法中还具有灵活性大的优势：可以使用局部拟一致网格对区域进行剖分；甚至可以在各个子区域上使用不同的离散方法。
　　 大部分区域分解的研究是针对椭圆型问题。虽然这些算法可以比较容易地转化为抛物方程的算法，只需在每个时间层上给出类似椭圆方程的区域分解算法即可。但是，由于这些算法均为迭代算法，在每一时间层作大量迭代，导致总体计算量十分巨大。因此，针对抛物问题的特性，构造无需迭代的算法。在应用和理论上都是十分有意义和重要的。Dawson等人已经在抛物方程的区域分解算法领域有了早期的研究。他们用无重叠区域的区域分解结合差分或有限元方法求解了一维和二维抛物方程。二维时他们用粗细两种网格剖分区域，同时将求解区域分为两个子区域，子区域内界点上的值，应用粗网格形成古典显格式求解，得到内界点上的数值解。得到后子区域的边界条件便都可知，之后分别在两个子区域上并行求解内节点上的数值解．通过引入粗网格放松了格式的稳定性条件，该算法的误差阶为：O(△t+ h2+Hh2∣1nh∣+H3)关于抛物方程的有限元法在Thomee的专著[6]中作了全面的综述。Dawson等人的算法及其理论分析，局限于一个串式结构。不能适应复杂的区域。本文结合有限元和区域分解方法求解抛物方程，在Dawson等人已有算法[8]基础上进行修正。提出和分析非串式结构的算法。作为例子，本文将两个子区域增为具有田字结构的四个子区域，并给出和分析了算法。田字结构的四个子区域的算法困难是如何首先设计算法求出中心节点上的数值解，然后将中心节点的数值解结合边界条件求出内界点的数值解，进而并行求出四个子区域的内点的数值解文中是通过在x方向和y方向。上同时引入粗网格，来克服这一困难的。求解过程如下：
　　 第一步，对区域进行粗细网格剖分，并在两种网格上分别建立分片线性有限元空间。
　　 第二步，求中心点上的数值解。利用x和y两个方向上的粗网格，构造了显格式算法求中心点的数值解，迭代初值U0由方程的初始条件u0(x,y)给出。
　　 第三步，求区域内界点的数值解.利用第二步求得的中心点的数值解以及方程的边界条件，可以构造显-隐格式迭代求出内界点上的数值解。
　　 第四步，求子区域内部节点的数值解。利用第二、三步求得的中心点和内边界上的数值解，再配合方程原有的边界条件，那么每个子区域的边界值便可知。进而可构造四个迭代格式，分别求每个子区域内点的数值解。子区域通过内部临界边耦合在一起并且具有高度并行的特性，可以并行求解，提高计算效率。文章最后一章对该算法的误差进行分析，得到了数值解的L2-模误差估计。本文提出的算法和分析很容易推广到任意多个具有网状结构的区域分解的情形。